已知函数（）（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）当时，求在上的最大

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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已知函数（）
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）当时，求在上的最大值和最小值（）；
（Ⅲ）求证：．

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如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面边长为8的正方形，四条侧棱长均为 $2 \sqrt{17}$ .点 $G, E, F, H$ 分别是棱 $P B, A B, C D, P C$ 上共面的四点，平面 $G E F H ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $B C / /$ 平面 $G E F H$ .
(1)证明： $G H / / E F$

(2)若 $E B = 2$ ，求四边形 $G E F H$ 的面积.

题型：未知
难度：未知

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数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1, n a_{n + 1} = (n + 1) a_{n} + n (n + 1), n \in N^{+}$ .

（1）证明：数列 ${\frac{a_{n}}{n}}$ 是等差数列；
（2）设 $b_{n} = 3^{n} \cdot \sqrt{a_{n}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

题型：未知
难度：未知

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某高校共有15000人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位:小时）
（1）应收集多少位女生样本数据？
（2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为： $[0, 2], (2, 4], (4, 6], (6, 8], (8, 10], (10, 12]$ .估计该校学生每周平均体育运动时间超过4个小时的概率.

（3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4个小时.请完成每周平均体育运动时间与性别的列联表，并判断是否有 $95$ ℅的把握认为"该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关".
附：
$K^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$