设抛物线C₁:y²=4x的准线与x轴交于点F₁，焦点为F₂；以F₁，F₂为焦点，离心率为的椭圆记作C₂

（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线L经过椭圆C₂的右焦点F₂，与抛物线C₁交于A₁，A₂两点，与椭圆C₂交于B₁，B₂两点。当以B₁B₂为直径的圆经过F₁时，求|A₁A₂|长。
（3）若M是椭圆上的动点，以M为圆心，MF₂为半径作圆,是否存在定圆,使得与恒相切？若存在，求出的方程，若不存在，请说明理由。