已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\left(a>b>0\right)$的左右焦点为$F_1$,$F_2$离心率为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，过$F_2$的直线$l$交$C$与$A,B$两点，若$△A{F}_{1}B$的周长为$4\sqrt{3}$，则$C$的方程为（）

A．

$\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1$

B．

$\frac{x^2}{3}+y^2=1$

C．

$\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{8}=1$

D．

$\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{4}=1$