已知函数$f\left(x\right)=e^x+e^{-x}$，其中$e$是自然对数的底数.
（1）证明：$f\left(x\right)$是$R$上的偶函数；
（2）若关于$x$的不等式$mf\left(x\right)\le e^{-x}+m-1$在$(0,+\infty )$上恒成立，求实数$m$的取值范围；
（3）已知正数$a$满足：存在$x_0\in (1,+\infty )$，使得$f\left(x_0\right)<a(-{x_0}^3+3x_0)$成立，试比较$e^{a-1}$与$a^{e-1}$的大小，并证明你的结论.