如图5，$O$为坐标原点，双曲线$C_1:\frac{x^2}{{a_1}^2}-\frac{y^2}{{b_1}^2}=1\left(a_1>0,b_1>0\right)$和椭圆$C_2:\frac{x^2}{{a_1}^2}+\frac{y^2}{{b_2}^2}=1\left(a_2>b_2>0\right)$均过点$P\left(\frac{2\sqrt{3}}{3},1\right)$，且以$C_1$的两个顶点和$C_2$的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形.
(1)求$C_1,C_2$的方程；
(2)是否存在直线$l$，使得$l$与$C_1$交于$A,B$两点，与$C_2$只有一个公共点，且$\left|\stackrel{\rightharpoonup }{OA}+\stackrel{\rightharpoonup }{OB}\right|=\left|\stackrel{\rightharpoonup }{AB}\right|$？证明你的结论.