已知函数f(x)2x33x.（1）求f(x)在区间2,1上的

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较难
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已知函数 $f (x) = 2 x^{3} - 3 x$ .
（1）求 $f (x)$ 在区间 $[- 2, 1]$ 上的最大值；
（2）若过点 $P (1, t)$ 存在3条直线与曲线 $y = f (x)$ 相切，求 $t$ 的取值范围；
（3）问过点 $A (- 1, 2), B (2, 10), C (0, 2)$ 分别存在几条直线与曲线 $y = f (x)$ 相切？（只需写出结论）

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已知函数 $f (x) = \sin 2 x - 2 \sin^{2} x$

（I）求函数 $f (x)$ 的最小正周期。
(II) 求函数 $f (x)$ 的最大值及 $f (x)$ 取最大值时 $x$ 的集合。

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设函数 $f (x) = 1 - e^{- x}$ ．
（Ⅰ）证明：当 $x > - 1$ 时， $f (x) \geq \frac{x}{x + 1}$ ；
（Ⅱ）设当 $x \geq 0$ 时， $f (x) \leq \frac{x}{a x + 1}$ ，求 $a$ 的取值范围．

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己知斜率为1的直线 $l$ 与双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 相交于 $B$ 、 $D$ 两点，且 $B D$ 的中点为 $M (1, 3)$ ．
（Ⅰ）求 $C$ 的离心率；
（Ⅱ）设 $C$ 的右顶点为 $A$ ，右焦点为 $F$ ， $|D F| |B F| = 17$ ，证明：过 $A, B, D$ 三点的圆与 $x$ 轴相切．

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如图，由 $M$ 到 $N$ 的电路中有4个元件，分别标为 $T_{1}, T_{2}, T_{3}, T_{4}$ ，电流能通过 $T_{1}, T_{2}, T_{3}$ 的概率都是 $p$ ，电流能通过 $T_{4}$ 的概率是0.9．电流能否通过各元件相互独立．已知 $T_{1}, T_{2}, T_{3}$ 中至少有一个能通过电流的概率为0.999．
（Ⅰ）求 $p$ ；
（Ⅱ）求电流能在 $M$ 与 $N$ 之间通过的概率；
（Ⅲ） $ξ$ 表示 $T_{1}, T_{2}, T_{3}, T_{4}$ 中能通过电流的元件个数，求 $ξ$ 的期望．

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如图，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C = B C$ ， $A A_{1} = A B$ ， $D$ 为 $B B_{1}$ 的中点， $E$ 为 $A B_{1}$ 上的一点， $A E = 3 E B_{1}$ ．

（Ⅰ）证明： $D E$ 为异面直线 $A B_{1}$ 与 $C D$ 的公垂线；
（Ⅱ）设异面直线 $A B_{1}$ 与 $C D$ 的夹角为45°，求二面角 $A_{1} - A C_{1} - B_{1}$ 的大小．

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