已知定义在$\left[0,1\right]$上的函数$f\left(x\right)$满足：
①$f\left(0\right)=f\left(1\right)=0$；
②对所有$x,y\in \left[0,1\right]$，且$x\ne y$，有$\left|f\left(x\right)-f\left(y\right)\right|<\frac{1}{2}\left|x-y\right|$.
若对所有$x,y\in \left[0,1\right]$，$\left|f\left(x\right)-f\left(y\right)\right|<k$，则$k$的最小值为（    ）

A．

$\frac{1}{2}$

B．

$\frac{1}{4}$

C．

$\frac{1}{2\pi }$

D．

$\frac{1}{8}$