已知椭圆$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的左、右焦点为$F_1,F_2$，离心率为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，过$F_2$的直线$l$交$C$于$A,B$两点，若$△A{F}_{1}B$的周长为$4\sqrt{3}$，则$C$的方程为

$\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1$

$\frac{x^2}{3}+y^2=1$

$\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{8}=1$

$\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{4}=1$