已知$a,b$为常数，且$a\ne 0$，函数$f\left(x\right)=-ax+b+ax\ln x$，$f\left(e\right)=2$（$e$=2.71828…是自然对数的底数）．
（I）求实数$b$的值；
（II）求函数$f\left(x\right)$的单调区间；
（III）当$a$=1时，是否同时存在实数$m$和$M$（$m<M$），使得对每一个$t\in [m,M]$，直线$y=t$与曲线$y=f\left(x\right),(x\in [\frac{1}{e},e\left]\right)$都有公共点？若存在，求出最小的实数$m$和最大的实数$M$；若不存在，说明理由．