某班一天上午有4节课，每节都需要安排一名教师去上课，现从A，

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度容易
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挑错有奖

某班一天上午有4节课，每节都需要安排一名教师去上课，现从A，B，C，D，E，F，6名教师中安排4人分别上一节课，第一节课只能从A、B两人中安排一人，第四节课只能从A、C两人中安排一人，则不同的安排方案共有多少种？

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已知 $\{a_{n}\}$ 是公差不为零的等差数列， $a_{1} = 1$ 且 $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ 成等比数列
（1）求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式
（2）求数列的前n项和

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数列 $\{a_{n}\} (n \in N^{*})$ 中， $a_{1} = a$ , $a_{n + 1}$ 是函数 $f_{n} (x) = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} (3 a_{n} + n_{2}) x^{2} + 3 n^{2} a_{n} x$ 的极小值点.

（Ⅰ）当 $a = 0$ 时，求通项 $a_{n}$ ；
（Ⅱ）是否存在 $a$ ，使数列 $\{a_{n}\}$ 是等比数列？若存在，求 $a$ 的取值范围；若不存在，请说明理由.

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已知函数 $f (x) = x^{2} + b x + c (b, c \in R)$ ,对任意的 $x \in R$ ，恒有 $f^{`} (x) \leq f (x)$ .
（Ⅰ）证明：当 $x \geq 0$ 时， $f (x) \leq {(x + c)}^{2}$ ；
（Ⅱ）若对满足题设条件的任意 $b, c$ ,不等式 $f (c) - f (b) \leq M (c^{2} - b^{2})$ 恒成立，求 $M$ 的最小值.

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为了考察冰川的融化状况,一支科考队在某冰川上相距8 $k m$ 的 $A, B$ 两点各建一个考察基地.视冰川面为平面形,以过 $A, B$ 两点的直线为 $x$ 轴,线段 $A B$ 的的垂直平分线为 $y$ 轴建立平面直角坐标系在直线 $x = 2$ 的右侧,考察范围为到点 $B$ 的距离不超过 $\frac{6 \sqrt{5}}{5} k m$ 区域;在直线 $x = 2$ 的左侧,考察范围为到 $A, B$ 两点的距离之和不超过 $4 \sqrt{5} k m$ 区域.

（Ⅰ）求考察区域边界曲线的方程；
（Ⅱ）如图所示,设线段 $P_{1} P_{2}, P_{2} P_{3}$ 是冰川的部分边界线(不考虑其他边界线),当冰川融化时,边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动,第一年移动0.2 $k m$ ,以后每年移动的距离为前一年的2倍,求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间.

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如图所示，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中, $E$ 是棱 $D D_{1}$ 的中点.

（Ⅰ）求直线 $B E$ 的平面 $A B B_{1} A_{1}$ 所成的角的正弦值；
（II）在棱 $C_{1} D_{1}$ 上是否存在一点 $F$ ，使 $B_{1} F ∥$ 平面 $A_{1} B E$ ,证明你的结论.

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