已知椭圆 C : x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 ( a > b > 0 )的两个焦点分别为 F 1 ( - 1 , 0 ) , F 2 ( 1 , 0 ) ,且椭圆 C 经过点 P ( 4 3 , 1 3 ) . (I)求椭圆 C 的离心率: (II)设过点 A ( 0 , 2 ) 的直线 l 与椭圆 C 交于 M , N 两点,点 Q 是线段 M N 上的点,且 2 | A Q | 2 = 1 | A M | 2 + 1 | A N | 2 ,求点 Q 的轨迹方程.
(本小题满分12分)设为的内角、、所对的边分别为、、,且. (1)求角的大小; (2)若,求的取值范围.
(本小题满分12分)公差的等差数列中,,、、成等比数列; (1)求数列的通项公式; (2)数列满足,求数列的通项公式.
(本小题满分12分)设向量,,。 (1)求的最小正周期; (2)求在区间上的单调递减区间.
(本小题满分13分)已知函数(其中,是自然对数的底数,). (Ⅰ)当时,求函数的极值; (Ⅱ)若恒成立,求实数的取值范围; (Ⅲ)求证:对任意正整数,都有.
(本小题满分13分)已知椭圆:的焦距为,且经过点. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)是椭圆与轴正半轴的交点, 椭圆上是否存在两点、,使得是以A为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,请说明有几个;若不存在,请说明理由.