抛物线 $C_1:y=\frac{1}{2P}\left(P>0\right)$的焦点与双曲线 $C_2:\frac{x^2}{3}-y^2=1$的右焦点的连线交 $C_1$于第一象限的点 $M$，若 $C_1$在点 $M$处的切线平行于 $C_2$的一条渐近线，则 $p=$（）

A．

$\frac{\sqrt{3}}{16}$

B．

$\frac{\sqrt{3}}{8}$

C．

$\frac{2\sqrt{3}}{3}$

D．

$\frac{4\sqrt{3}}{3}$