设向量 a = 3 sin x , sin x , b = cos x , sin x , x ∈ 0 , π 2 .
(I)若 a = b ,求 x 的值.
(II)设函数 f ( x ) = a ⇀ · b ⇀ ,求 f ( x ) 的最大值.
如图,在长方体 A B C D - A 1 B 1 C 1 D 1 中, E , H 分别是棱 A 1 B 1 , D 1 C 1 上的点(点 E 与 B 1 不重合),且 E H / / A 1 D 1 . 过 E H 的平面与棱 B B 1 , C C 1 相交,交点分别为 F , G .
(I)证明: A D / / 平面 E F G H ;
(II)设 A B = 2 A A 1 = 2 a .在长方体 A B C D - A 1 B 1 C 1 D 1 内随机选取一点.记该点取自几何体 A 1 A B F E - D 1 D C G H 内的概率为 p ,当点 E , F 分别在棱 A 1 B 1 上运动且满足 E F = a 时,求 p 的最小值.
已知抛物线的方程过点. (I)求抛物线的方程,并求其准线方程; (II)是否存在平行于(O为坐标原点)的直线,使得直线与抛物线有公共点,且直线与的距离等于?若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由。
设平面向量 a m = m , 1 , b n = 2 , n ,其中 m , n ∈ 1 , 2 , 3 , 4 . (I)请列出有序数组 m , n 的所有可能结果; (II)记"使得 a m ⊥ a m - b n 成立的 m , n "为事件 A ,求事件 A 发生的概率.
数列 a n 中, a 1 = 1 3 ,前 n 项和 S n 满足 S n + 1 - S n = 1 3 n + 1 n ∈ N * .
(I)求数列 a n 的通项公式 a n 以及前 n 项和 S n . (II)若 S 1 , t S 1 + S 2 , 3 S 2 + S 3 成等差数列,求实数 t 的值.
在数列 a n 中, a 1 = 0 ,且对任意 k ∈ N * , a 2 k - 1 , a 2 k , a 2 k + 1 成等差数列,其公差为 2 k . (Ⅰ)证明 a 4 , a 5 , a 6 成等比数列; (Ⅱ)求数列 a n 的通项公式; (Ⅲ)记 T n = 2 2 a 2 + 3 2 a 3 + ⋯ + n 2 a n ,证明 3 2 < 2 n - T n ≤ 2 n ≥ 2 .