在如图所示的平面直角坐标系中,已知点和点,,且,其中为坐标原点.(Ⅰ)若,设点为线段上的动点,求的最小值;(Ⅱ)若,向量,,求的最小值及对应的值.
设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18,先采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员参加比赛. (Ⅰ)求应从这三个协会中分别抽取的运动员人数; (Ⅱ)将抽取的6名运动员进行编号,编号分别为 A 1 , A 2 , A 3 , A 4 , A 5 , A 6 ,从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛.    (i)用所给编号列出所有可能的结果;    (ii)设A为事件"编号为的两名运动员至少有一人被抽到",求事件A发生的概率.
已知函数 f ( x ) = n x - x n , x ∈ R ,其中 n ∈ N * , n ≥ 2 . (Ⅰ)讨论 f ( x ) 的单调性; (Ⅱ)设曲线 y = f ( x ) 与 x 轴正半轴的交点为 P ,曲线在点 P 处的切线方程为 y = g ( x ) ,求证:对于任意的正实数 x ,都有 f ( x ) < g ( x ) ; (Ⅲ)若关于 x 的方程 f ( x ) = a ( a 为实数)有两个正实根 x 1 , x 2 ,求证: x 2 - x 1 < a 1 - n + 2
已知椭圆 x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 ( a > b > 0 ) 的左焦点为 F ( - c , 0 ) ,离心率为 3 3 ,点M在椭圆上且位于第一象限,直线 F M 被圆 x 2 + y 2 = b 2 4 截得的线段的长为 c , F M = 4 3 3
(Ⅰ)求直线 F M 的斜率; (Ⅱ)求椭圆的方程; (Ⅲ)设动点 P 在椭圆上,若直线 F P 的斜率大于 2 ,求直线 O P ( O 为原点)的斜率的取值范围.
已知数列 a n 满足 a n + 2 = q a n ( q 为实数 , 且 q ≠ 1 ), n ∈ N * , a 1 = 1 , a 2 = 2 ,且 a 2 + a 3 , a 3 + a 4 , a 4 + a 5 成等差数列. (Ⅰ)求 q 的值和 a n 的通项公式; (Ⅱ)设 b n = log 2 a 2 n a 2 n - 1 , n ∈ N * ,求数列 b n 的前 n 项和.
如图,在四棱柱 A B C D - A 1 B 1 C 1 D 1 中,侧棱 A 1 A ⊥ 底面 A B C D , A B ⊥ A C , A B = 1 , A C = A A 1 = 2 , A D = C D = 5 ,且点M和N分别为 B 1 C 和 D 1 D 的中点.
(Ⅰ)求证: M N ∥ 平面 A B C D ; (Ⅱ)求二面角 D 1 - A C - B 1 的正弦值; (Ⅲ)设 E 为棱 A 1 B 1 上的点,若直线 N E 和平面 A B C D 所成角的正弦值为 1 3 ,求线段 A 1 E 的长