求证:
(本大题12分,)如图,三棱柱的底面是边长为2的正三角形且侧棱垂直于底面,侧棱长是,D是AC的中点。(1)求证:平面;(2)求二面角的大小;(3)求直线与平面所成的角的正弦值.
(本小题满分12分)设函数,其中,,x∈R.(I)求的值及函数的最大值; (II)求函数的单调递增区间.
(本小题满分12分) 古代印度婆罗门教寺庙内的僧侣们曾经玩过一种被称为“河内宝塔问题”的游戏,其玩法如下:如图,设有n()个圆盘依其半径大小,大的在下,小的在上套在A柱上,现要将套在A柱上的盘换到C柱上,要求每次只能搬动一个,而且任何时候不允许将大盘套在小盘上面,假定有三根柱子A、B、C可供使用.现用an表示将n个圆盘全部从A柱上移到C柱上所至少需要移动的次数,回答下列问题:(1) 写出a1,a2,a3,并求出an;(2) 记,求和();(其中表示所有的积的和)(3)证明:
(本小题满分12分)在平面直角坐标系中,线段AB与y轴交于点,直线AB的斜率为k,且满足(1)证明:对任意的实数,一定存在以y轴为对称轴且经过A、B、O三点的抛物线C,并求出抛物线C的方程;(2)对(1)中的抛物线C,若直线与其交于M、N两点,求∠MON的取值范围.
(本小题满分12分)如图是在竖直平面内的一个“通道游戏”.图中竖直线段和斜线段都表示通道,并且在交点处相遇,若竖直线段有第一条的为第一层,有二条的为第二层,……,依次类推.现有一颗小弹子从第一层的通道里向下运动.记小弹子落入第层第个竖直通道(从左至右)的概率为.(已知在通道的分叉处,小弹子以相同的概率落入每个通道)(Ⅰ)求的值,并猜想的表达式.(不必证明)(Ⅱ)设小弹子落入第6层第个竖直通道得到分数为,其中,试求的分布列及数学期望.