燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5log₂，单位是m/s，其中Q表示燕子的耗氧量．
(1)试计算：燕子静止时的耗氧量是多少个单位？
(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？

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如图，从点 $P_{1} (0, 0)$ 做 $x$ 轴的垂线交曲线 $y = e^{x}$ 于点 $Q_{1} (0, 1)$ ，曲线在 $Q_{1}$ 点处的切线与 $x$ 轴交于点 $P_{2}$ ，再从 $P_{2}$ 做 $x$ 轴的垂线交曲线于点 $Q_{2}$ ，依次重复上述过程得到一系列点： $P_{1}, Q_{1}; P_{2}, Q_{2} . . .; P_{n}, Q_{n}$ ，记 $P_{K}$ 点的坐标为 $(x_{k}, 0) (k = 1, 2, . . ., n)$ ．

（Ⅰ）试求 $x_{k}$ 与 $x_{k - 1}$ 的关系 $(2 \leq k \leq n)$ ；
（Ⅱ）求 $|P_{1} Q_{1}| + |P_{2} Q_{2}| + |P_{3} Q_{3}| + . . . + |P_{n} Q_{n}|$ ．

题型：未知
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叙述并证明余弦定理．

题型：未知
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设椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $(0, 4)$ ，离心率为 $\frac{3}{5}$ .
（Ⅰ）求 $C$ 的方程；
（Ⅱ）求过点 $(3, 0)$ 且斜率为 $\frac{4}{5}$ 的直线被 $C$ 所截线段的中点坐标．

题型：未知
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如图,在 $∆ A B C$ 中, $∠ A B C = 45^{°}$ , $∠ B A C = 90^{°}$ , $A D$ 是 $B C$ 上的高,沿 $A D$ 把是 $B C$ 上的 $∆ A B D$ 折起,使 $∠ B D C = 90^{°}$ ．

（Ⅰ）证明：平面 $A D B ⊥$ 平面 $B D C$ ；
（Ⅱ）设 $B D = 1$ ，求三棱锥 $D - A B C$ 的表面积．

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平面内与两定点 $A_{1} (- a, 0)$ ， $A_{2} (a, 0)$ （ $a > 0$ ）连线的斜率之积等于非零常数 $m$ 的点的轨迹，加上 $A_{1}, A_{2}$ 两点所成的曲线 $C$ 可以是圆、椭圆成双曲线．
（Ⅰ）求曲线 $C$ 的方程，并讨论 $C$ 的形状与 $m$ 值的关系；
（Ⅱ）当 $m$ =﹣1时，对应的曲线为 $C_{1}$ ；对给定的 $m$ ∈（﹣1，0）∪（0，+∞），对应的曲线为 $C_{2}$ ，设 $F_{1}, F_{2}$ 是 $C_{2}$ 的两个焦点．试问：在 $C_{1}$ 上，是否存在点 $N$ ，使得 $△ F_{1} N F_{2}$ 的面积 $S = |m| a^{2}$ ．若存在，求 $\tan F_{1} N F_{2}$ 的值；若不存在，请说明理由．

题型：未知
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