如图，半径为 $R$的半球 $O$的底面圆 $O$在平面 $\alpha$内，过点 $O$作平面 $\alpha$的垂线交半球面于点 $A$，过圆 $O$的直径 $CD$作平面 $\alpha$成 $45°$角的平面与半球面相交，所得交线上到平面 $\alpha$的距离最大的点为 $B$，该交线上的一点 $P$满足 $\angle BOP=60°$，则 $A$、 $P$两点间的球面距离为（）

A．

$Rarc\cos \frac{\sqrt{2}}{4}$

B．

$\frac{\mathrm{\pi R}}{4}$

C．

$Rarc\cos \frac{\sqrt{3}}{3}$

D．

$\frac{\mathrm{\pi R}}{3}$