计算机成本不断降低，若每隔3年计算机价格降低，现在价格为81

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度未知
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计算机成本不断降低，若每隔 3 年计算机价格降低，现在价格为 8100 元的计算机，则 9 年后价格为多少元？

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如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形， $P A ⊥ 平面 A B C D$ ， $E$ 为 $P D$ 的中点.
（1）证明： $P B ∥ 平面 A E C$ ；
（2）设二面角 $D - A E - C$ 为60°， $A P = 1$ ， $A D = \sqrt{3}$ ，求三棱锥 $E - A C D$ 的体积.

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已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1, a_{n + 1} = 3 a_{n} + 1$
（1）证明 $\{a_{n} + \frac{1}{2}\}$ 是等比数列，并求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
（2）证明： $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + . . . . . . + \frac{1}{a_{n}} < \frac{3}{2}$ .

题型：未知
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设函数 $f (x) = 2 |x - 1| + x - 1, g (x) = 16 x^{2} - 8 x + 1$ ，记 $f (x) \leq 1$ 的解集为 $M$ ， $g (x) \leq 4$ 的解集为 $N$ .
（1）求 $M$ ；
（2）当 $x \in M \cap N$ 时，证明： $x^{2} f (x) + x {[f (x)]}^{2} \leq \frac{1}{4}$ .

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将圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线 $C$ .
（1）写出 $C$ 的参数方程；
（2）设直线 $l : 2 x + y - 2 = 0$ 与 $C$ 的交点为 $P_{1}, P_{2}$ ，以坐标原点为极点， $x$ 轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段 $P_{1} P_{2}$ 的中点且与 $l$ 垂直的直线的极坐标方程.

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如图， $E P$ 交圆于 $E$ 、 $C$ 两点， $P D$ 切圆于 $D, G$ 为 $C E$ 上一点且 $P G = P D$ ，连接 $D G$ 并延长交圆于点 $A$ ，作弦 $A B$ 垂直 $E P$ ，垂足为 $F$ .
（1）求证： $A B$ 为圆的直径；
（2）若 $A C = B D$ ，求证： $A B = E D$ .

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