对任意实数,直线与椭圆恒有公共点,则的取值范围是

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更新 2022-09-03
科目数学
题型填空题
难度中等
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对任意实数,直线与椭圆恒有公共点,则的
取值范围是

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当 $x \in R, |x| < 1$ 时，有如下表达式： $1 + x + x^{2} + \dots + x^{n} + \dots = \frac{1}{1 - x}$ 两边同时积分得： $\int_{0}^{\frac{1}{2}} 1 d x + \int_{0}^{\frac{1}{2}} x d x + \int_{0}^{\frac{1}{2}} x^{2} d x + \dots + \int_{0}^{\frac{1}{2}} x^{n} d x + \dots = \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{1 - x} d x$ .从而得到如下等式：
$1 \times \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \times {(\frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{3} \times {(\frac{1}{2})}^{3} + \dots + \frac{1}{n + 1} \times {(\frac{1}{2})}^{n + 1} + \dots = \ln 2$ .请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：
$C_{n}^{0} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{2} C_{n}^{1} \times {(\frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{3} C_{n}^{2} \times {(\frac{1}{2})}^{3} + \dots + \frac{1}{n + 1} C_{n}^{n} \times {(\frac{1}{2})}^{n + 1} =$ .

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