已知椭圆 $C_1:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\left(a>b>0\right)$与双曲线 $C_2:x^2-\frac{y^2}{4}=1$有公共的焦点， $C_2$的一条渐近线与 $C_1{C}_2$的长度为直径的圆相交于 $A,B$两点.若 $C_1$恰好将线段 $AB$三等分，则（）

A．

$a^2=\frac{13}{2}$

B．

$a^2=13$

C．

$b^2=\frac{1}{2}$

D．

$b^2=2$