若椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的焦点在 $x$轴上，过点 $\left(1,\frac{1}{2}\right)$作圆 $x^2+y^2=1$的切线，切点分别为 $A,B$，直线 $AB$恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是.