已知动直线 $l$与椭圆C: $\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1$交于 $P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2)$两不同点，且 $△OPQ$的面积 $S_{△OPQ}=\frac{\sqrt{6}}{2}$,其中O为坐标原点.
（Ⅰ）证明 $x_1^2+x_2^2$和 $y_1^2+y_2^2$均为定值;
（Ⅱ）设线段 $PQ$的中点为 $M$，求 $\left|OM\right|·\left|PQ\right|$的最大值；
（Ⅲ）椭圆C上是否存在点 $D,E,G$，使得 $S_{∆ODE}=S_{∆ODG}=S_{∆OEG}=\frac{\sqrt{6}}{2}$？若存在，判断 $∆DEG$的形状；若不存在，请说明理由.