若，且，则的最小值为.

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若，且，则的最小值为_________________.

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设 $\{a_{n}\}$ 是等差数列， $\{b_{n}\}$ 是等比数列．已知 $a_{1} = 4, b_{1} = 6 ， b_{2} = 2 a_{2} - 2, b_{3} = 2 a_{3} + 4$ ．

（Ⅰ）求 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

（Ⅱ）设数列 $\{c_{n}\}$ 满足 $c_{1} = 1, c_{n} = \{\begin{matrix} 1, 2^{k} < n < 2^{k + 1}, \\ b_{k}, n = 2^{k}, \end{matrix}$ 其中 $k \in N^{*}$ ．

（i）求数列 $\{a_{2^{n}} (c_{2^{n}} - 1)\}$ 的通项公式；

（ii）求 $\sum_{i = 1}^{2^{n}} a_{i} c_{i} (n \in N^{*})$ ．

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设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点为 $F$ ，上顶点为 $B$ ．已知椭圆的短轴长为4，离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设点 $P$ 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点 $M$ 为直线 $PB$ 与 $x$ 轴的交点，点 $N$ 在 $y$ 轴的负半轴上．若 $| ON | = | OF |$ （ $O$ 为原点），且 $OP ⊥ MN$ ，求直线 $PB$ 的斜率．

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如图， $AE ⊥$ 平面 $ABCD$ ， $CF ∥ AE, AD ∥ BC$ ， $AD ⊥ AB, AB = AD = 1, AE = BC = 2$ ．

（Ⅰ）求证： $BF ∥$ 平面 $ADE$ ；

（Ⅱ）求直线 $CE$ 与平面 $BDE$ 所成角的正弦值；

（Ⅲ）若二面角 $E - BD - F$ 的余弦值为 $\frac{1}{3}$ ，求线段 $CF$ 的长．

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设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为 $\frac{2}{3}$ ．假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．

（Ⅰ）用 $X$ 表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量 $X$ 的分布列和数学期望；

（Ⅱ）设 $M$ 为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件 $M$ 发生的概率．

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在四边形 $ABCD$ 中， $AD ∥ BC, AB = 2 \sqrt{3}, AD = 5, ∠ A = 30 °$ ，点 $E$ 在线段 $CB$ 的延长线上，且 $AE = BE$ ，则 $\vec{BD} \cdot \vec{AE} =$ _____________．

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