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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较易
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如图所示，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，点 $E$ 在线段 $P C$ 上， $P C ⊥$ 平面 $B D E$ ．
（1）证明： $B D ⊥$ 平面 $P A C$ ；
（2）若 $P A = 1$ ， $A D = 2$ ，求二面角 $B - P C - A$ 的正切值．

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难度：未知

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某班50位学生期中考试数学成绩的频率直方分布图如图所示，其中成绩分组区间是：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．
（1）求图中 $x$ 的值；
（2）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为 $ξ$ ，求 $ξ$ 的数学期望．

题型：未知
难度：未知

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已知函数 $f (x) = 2 \cos (ω x + \frac{π}{6})$ （其中 $ω > 0, x \in R$ ）的最小正周期为 $10 π$ ．
（1）求 $ω$ 的值；
（2）设 $α, β \in [0, \frac{π}{2}], f (5 α + \frac{5}{3} π) = - \frac{6}{5}, f (5 β - \frac{5}{6} π) = \frac{16}{17}$ ，求 $\cos (α + β)$ 的值．

题型：未知
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在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{3} + y^{2} = 1$ ．如图所示，斜率为 $k (k > 0)$ 且不过原点的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $A$ ， $B$ 两点，线段 $A B$ 的中点为 $E$ ，射线 $O E$ 交椭圆 $C$ 于点 $G$ ，交直线 $x = - 3$ 于点 $D (- 3, m)$ ．
（1）求 $m^{2} + k^{2}$ 的最小值；
（2）若 ${|O G|}^{2} = |O D| \cdot |O E|$

（i）求证：直线 $l$ 过定点；
（ii）试问点 $B, G$ 能否关于 $x$ 轴对称？若能，求出此时 $△ A B G$ 的外接圆方程；若不能，请说明理由．

题型：未知
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某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为 $\frac{80 π}{3}$ 立方米，且 $1 \geq 2 r$ ．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为 $c (c > 3)$ 千元．设该容器的建造费用为 $y$ 千元．
（1）写出 $y$ 关于 $r$ 的函数表达式，并求该函数的定义域；
（2）求该容器的建造费用最小时的 $r$ ．

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