（本小题满分12分）某校高三数学竞赛初赛考试后，对90分以上

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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（本小题满分12分）
某校高三数学竞赛初赛考试后，对90分以上（含90分）的成绩进行统计，其频率分布直方图如图所示．若130~140分数段的人数为2人．
（Ⅰ）估计这所学校成绩在90~140分之间学生的参赛人数；
（Ⅱ）现根据初赛成绩从第一组和第五组（从低分段到高分段依次为第一组、第二组、…、第五组）中任意选出两人，形成帮扶学习小组．若选出的两人成绩之差大于20，则称这两人为“黄金搭档组”，试求选出的两人为“黄金搭档组”的概率．

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如图，四棱锥 $P - ABCD$ 中，侧面 $PAD$ 为等比三角形且垂直于底面 $ABCD$ ， $AB = BC = \frac{1}{2} AD, ∠ BAD = ∠ ABC = 9 0^{o},$ $E$ 是 $PD$ 的中点.

（1）证明：直线 $CE / /$ 平面 $PAB$ ;

（2）点 M在棱 PC上，且直线 BM与底面 ABCD所成锐角为 $4 5^{o}$ ，求二面角 $M - AB - D$ 的余弦值.

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（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件：旧养殖法的箱产量低于50kg, 新养殖法的箱产量不低于50kg,估计A的概率；

（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：

	箱产量＜50kg	箱产量≥50kg
旧养殖法
新养殖法

（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）

P（）	0.050	0.010	0.001
k	3.841	6.635	10.828

$K^{2} = \frac{n (ad - bc)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$

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(1)求 $\cos B$

(2)若 $a + c = 6$ , $ΔABC$ 面积为2，求 $b .$

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（I）求椭圆的离心率；

（II）设点Q在线段AE上， $| FQ | = \frac{3}{2} c$ ，延长线段FQ与椭圆交于点P，点M，N在x轴上， $PM ∥ QN$ ，且直线PM与直线QN间的距离为c，四边形PQNM的面积为3c．

（i）求直线FP的斜率；

（ii）求椭圆的方程．

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设a， $b \in R$ ， $| a | \leq 1$ ．已知函数 $f （ x ） = x^{3} ﹣ 6 x^{2} ﹣ 3 a （ a ﹣ 4 ） x + b$ ， $g （ x ） = e^{x} f （ x ）$ ．

（Ⅰ）求 $f （ x ）$ 的单调区间；

（Ⅱ）已知函数 $y = g （ x ）$ 和 $y = e^{x}$ 的图象在公共点 $（ x_{0} ， y_{0} ）$ 处有相同的切线，

（i）求证： $f （ x ）在 x = x_{0}$ 处的导数等于0；

（ii）若关于x的不等式 $g （ x ） \leq e^{x}$ 在区间 $[x_{0} ﹣ 1 ， x_{0} + 1]$ 上恒成立，求b的取值范围．

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