选修4－1：几何证明选讲
如图，AB是⊙O的直径 ，AC是弦 ，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，
交AC的延长线于点E.OE交AD于点F.
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若
，求
的值.
（本小题满分13分）
已知数列
中，
且点
在直线
上。
(1)求数列
的通项公式;
(2)若函数
求函数
的最小值；
(3)设
表示数列
的前
项和。试问：是否存在关于的整式
，使得
对于一切不小于2的自然数恒成立？ 若存在，写出的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由。
（本小题满分13分）
已知椭圆
的离心率为
，直线
与以原点为圆心、椭圆
的短半轴长为半径的圆相切。
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆的左焦点为
，右焦点为
，直线
过点且垂直于椭圆的长轴，动直线
垂直于直线,垂足为点
,线段
的垂直平分线交于点
，求点的轨迹
的方程；
(3)设与
轴交于点
，不同的两点
在上，且满足
，求
的取值范围。
（本小题满分13分）
（本小题满分12分）通过实验研究，专家们发现：初中学生听课的注意力指标数是随着老师讲课时间的变化而变化的，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间，学生的兴趣保持平稳的状态，随后开始分散. 学生注意力指标数y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示（y越大表示学生注意力越集中）. 当
时，图象是抛物线的一部分，当
和
时，图象是线段.
（1）当时，求注意力指标数y与时间x的函数关系式；
（2）一道数学竞赛题需要讲解24分钟. 问老师能否经过适当安排，使学生在听这道题时，注意力的指标数都不低于36.
(本小题满分12分)
如图是某三棱柱被削去一个底面后的直观图与侧视图、俯视图.已知
，侧视图是边长为2的等边三角形；俯视图是直角梯形，有关数据如图所示.
(Ⅰ)求该几何体的体积；
(Ⅱ)求二面角
的余弦值.
表示组织者在此次总决赛中的门票收入，求
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