函数 $f\left(x\right)={\cos }^{2}x-2{\cos }^2\frac{x}{2}$的一个单调增区间是

A．

$\left(\frac{\pi }{3},\frac{2\pi }{3}\right)$

B．

$\left(\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{2}\right)$

C．

$\left(0,\frac{\pi }{3}\right)$

D．

$\left(-\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{6}\right)$