设 $a>1$，函数 $f\left(x\right)={\log }_{a}x$在区间 $[a,2a]$上的最大值与最小值之差为 $\frac{1}{2}$，则 $a=$(  )

A．

$\sqrt{2}$

B．

$2$

C．

$2\sqrt{2}$

D．

$4$