（本小题满分14分）如图，在直角梯形中,,,.将沿折起,使平

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较易
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（本小题满分14分）
如图，在直角梯形中,,,.将沿折起,使平面平面,得到几何体,如图2所示.
(Ⅰ) 求证:平面；
(Ⅱ) 求几何体的体积.

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如图，四棱柱 $A B C D ﹣ A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，侧棱 $A_{1} A ⊥ 底面 A B C D$ ， $A B ∥ D C$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A D = C D = 1$ ， $A A_{1} = A B = 2$ ， $E$ 为棱 $A A_{1}$ 的中点．
（1）证明 $B_{1} C_{1} ⊥ C E$ ；
（2）求二面角 $B_{1} - C E - C_{1}$ 的正弦值．
（3）设点 $M$ 在线段 $C_{1} E$ 上，且直线 $A M$ 与平面 $A D D_{1} A_{1}$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{2}}{6}$ ，求线段 $A M$ 的长．

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一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4；白色卡片3张，编号分别为2，3，4．从盒子中任取4张卡片（假设取到任何一张卡片的可能性相同）．
（1）求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率．
（2）再取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为 $X$ ，求随机变量 $X$ 的分布列和数学期望．

题型：未知
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已知函数 $f (x) = - \sqrt{2} \sin (2 x + \frac{π}{4}) + 6 \sin x \cos x - 2 \cos^{2} x + 1, x \in R$ ．
（1）求 $f (x)$ 的最小正周期；
（2）求 $f (x)$ 在区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的最大值和最小值．

题型：未知
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已知函数 $f (x) = a (1 - 2 |x - \frac{1}{2}|)$ , $a$ 为常数且 $a > 0$ .

（1）证明：函数 $f (x)$ 的图像关于直线 $x = \frac{1}{2}$ 对称；
（2）若 $x_{0}$ 满足 $f (f (x_{0})) = x_{0}$ _，但 $f (x_{0}) \neq x_{0}$ ，则 $x_{0}$ 称为函数 $f (x)$ 的二阶周期点，如果 $f (x)$ 有两个二阶周期点 $x_{1}, x_{2}$ ，试确定 $a$ 的取值范围；
（3）对于（2）中的 $x_{1}, x_{2}$ ，和 $a$ ，设 $x_{3}$ 为函数 $f (f (x))$ 的最大值点， $A (x_{1}, f (f (x_{1}))), B (x_{2}, f (f (x_{2}))), C (x_{3}, 0)$ ，记 $△ A B C$ 的面积为 $S (a)$ ，讨论 $S (a)$ 的单调性.

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如图，椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 经过点 $P$ $(1, \frac{3}{2})$ ，离心率 $e = \frac{1}{2}$ ，直线 $l$ 的方程为 $x = 4$ .

（1）求椭圆 $C$ 的方程；
（2） $A B$ 是经过右焦点 $F$ 的任一弦（不经过点 $P$ ），设直线 $A B$ 与直线l相交于点 $M$ ，记 $P A, P B, P M$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}, k_{3}$ .问：是否存在常数 $λ$ ，使得 $k_{1} + k_{2} = λ k_{3}$ ？若存在，求 $λ$ 的值；若不存在，说明理由.

题型：未知
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