已知函数 $f\left(x\right)={\cos }^2\frac{x}{2}-{\sin }^2\frac{x}{2}+\sin$.
（I）求函数 $f\left(x\right)$的最小正周期；
（II）当 $x_0\in (0,\frac{\pi }{4})$且 $f\left(x_0\right)=\frac{4\sqrt{2}}{5}$时，求 $f(x_0+\frac{\pi }{6})$的值。