已知数列 { a n } : a 1 = 1 , a 2 = 2 , a 3 = r , a n + 3 = a n + 2 ( n 是正整数),与数列 { b n } : b 1 = 1 , b 2 = 0 , b 3 = - 1 , b 4 = 0 , b n + 4 = b n ( n 是正整数).记 T n = b 1 a 1 + b 2 a 2 + b 3 a 3 + . . . + b n a n . (1)若 a 1 + a 2 + a 3 + . . . + a 12 = 64 ,求 r 的值; (2)求证:当 n 是正整数时, T 128 = - 4 n ; (3)已知 r > 0 ,且存在正整数 m ,使得在 T 12 m + 1 , T 12 m + 2 , . . . , T 12 m + 12 中有4项为100.求 r 的值,并指出哪4项为100.
(本小题满分14分)已知函数,, 其中,是自然对数的底数.函数,. (Ⅰ)求的最小值; (Ⅱ)将的全部零点按照从小到大的顺序排成数列,求证: (1),其中; (2).
(本小题满分13分)如图,设为抛物线的焦点,是抛物线上一定点,其 坐为,为线段的垂直平分线上一点,且点到抛物线的准线的距离为. (Ⅰ)求抛物线的方程; (Ⅱ)过点P任作两条斜率均存在的直线PA、PB,分别与抛物线交于点A、B,如图示,若直线AB的斜率为定值,求证:直线PA、PB的倾斜角互补.
(本小题满分12分)设数列的前项和为,点在直线上. (Ⅰ)求数列的通项公式; (Ⅱ)在与之间插入个数,使这个数组成公差为的等差数列,求数列的前项和,并求使成立的正整数的最大值.
如图,已知四棱锥中,是边长为的正三角形,平面平面,四边形是菱形,,是的中点,是的中点. (Ⅰ)求证:平面. (Ⅱ)求二面角的余弦值.
【改编】在中,角的对边分别为,的外接圆半径,且满足, (1)求角和边的大小; (2)若是锐角三角形,求的面积的取值范围。