若定义在 $R$上的函数 $f\left(x\right)$满足：对任意 $x_1,x_2\in R$有 $f\left(x_1+x_2\right)=f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)+1$则下列说法一定正确的是（）

A．

$f\left(x\right)$为奇函数

B．

$f\left(x\right)$为偶函数

C．

$f\left(x\right)+1$为奇函数

D．

$f\left(x\right)+1$为偶函数