各项均为正数的数列$\left\{a_n\right\}$，$a_1=a,a_2=b$，且对满足$m+n=p+q$的正整数$m,n,p,q$都有$\frac{a_m+a_n}{\left(1+a_m\right)\left(1+a_n\right)}=\frac{a_p+a_q}{\left(1+a_p\right)\left(1+a_q\right)}$.
（1）当$a=\frac{1}{2},b=\frac{4}{5}$时，求通项$a_n$；
（2）证明：对任意$a$，存在与$a$有关的常数$\lambda$，使得对于每个正整数$n$，都有$\frac{1}{\lambda }\le a_n\le \lambda$.