已知双曲线 $C$的中心是原点，右焦点为 $F(\sqrt{3},0)$，一条渐近线 $m:x+\sqrt{2}y=0$，设过点 $A(-3\sqrt{2},0)$的直线 $l$的方向向量 $\stackrel{\rightharpoonup }{e}=(1,k)$.
（1）求双曲线 $C$的方程；
（2）若过原点的直线 $a//l$，且 $a$与 $l$的距离为 $\sqrt{6}$，求 $k$的值；
（3）证明：当 $k>\frac{\sqrt{2}}{2}$时，在双曲线 $C$的右支上不存在点 $Q$，使之到直线 $l$的距离为 $\sqrt{6}$.