已知函数 $f\left(x\right)=a{x}^3-\frac{3}{2}{x}^2+1\left(x\in R\right)$，其中 $a>0$

（Ⅰ）若 $a=1$，求曲线 $y=f\left(x\right)$在点 $\left(2,f\left(2\right)\right)$处的切线方程；
（Ⅱ）若在区间 $\left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right]$上， $f\left(x\right)>0$恒成立，求 $a$的取值范围.

如图，在五面体 $ABCDEF$ 中，四边形 $ADEF$ 是正方形， $FA\perp$ 平面 $ABCD$ ， $BC\parallel AD$ ， $CD=1$ ， $AD=2\sqrt{2}$ ， $\angle BAD=\angle CDA=45°$ .

（Ⅰ）求异面直线 $CE$ 与 $AF$ 所成角的余弦值；     
（Ⅱ）证明 $CD\perp$ 平面 $ABF$ ；
（Ⅲ）求二面角 $B-EF-A$ 的正切值。

有编号为 $A_1$ , $A_2$ ,… $A_{10}$ 的10个零件，测量其直径（单位：cm），得到下面数据：

其中直径在区间 $[1.48,1.52]$ 内的零件为一等品。

（Ⅰ）从上述10个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率；
（Ⅱ）从一等品零件中，随机抽取2个.
（ⅰ）用零件的编号列出所有可能的抽取结果；
（ⅱ）求这2个零件直径相等的概率。

在 $△ABC$中， $\frac{AC}{AB}=\frac{\cos B}{\cos C}$.
（Ⅰ）证明 $B=C$：
（Ⅱ）若 $\cos A$=- $\frac{1}{3}$，求 $\sin \left(4B+\frac{\pi }{3}\right)$的值。

（本小题满分14分）
证明以下命题：
（1）对任一正整数，都存在正整数，使得成等差数列；
（2）存在无穷多个互不相似的三角形,其边长为正整数且成等差数列.