已知函数 $f\left(x\right)=x^3+2b{x}^2+cx-2$的图象在与 $x$轴交点处的切线方程是 $y=5x-10$.
（I）求函数 $f\left(x\right)$的解析式；
（II）设函数 $g\left(x\right)=f\left(x\right)+\frac{1}{3}mx$,若 $g\left(x\right)$的极值存在,求实数 $m$的取值范围以及函数 $g\left(x\right)$取得极值时对应的自变量 $x$的值.