（本小题满分12分）已知二次函数满足，且关于的方程的两个实数

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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（本小题满分12分）已知二次函数满足，且关于的方程的两个实数根分别在区间、内
（1）求实数的取值范围；
（2）若函数在区间上具有单调性，求实数的取值范围.

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设 $A$ 是单位圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 上的任意一点， $l$ 是过点 $A$ 与 $x$ 轴垂直的直线， $D$ 是直线 $l$ 与 $x$  轴的交点，点 $M$ 在直线 $l$ 上，且满足 $|D M| = m |D A| (m > 0, 且 m \neq 1)$ . 当点 $A$ 在圆上运动时，记点 $M$ 的轨迹为曲线 $C$ ．
（Ⅰ）求曲线 $C$ 的方程，判断曲线 $C$ 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；
（Ⅱ）过原点且斜率为 $k$ 的直线交曲线 $C$ 于 $P$ ， $Q$ 两点，其中 $P$ 在第一象限，它在 $y$ 轴上的射影为点 $N$ ，直线 $Q N$ 交曲线 $C$ 于另一点 $H$ . 是否存在 $m$ ，使得对任意的 $k > 0$ ，都有 $P Q ⊥ P H$ ？若存在，求 $m$ 的值；若不存在，请说明理由.

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根据以往的经验，某工程施工期间的降水量 $X$ （单位： $m m$ ）对工期的影响如下表：

降水量 $X$	$X < 300$	$300 \leq X < 700$	$700 \leq X < 900$	$X \geq 900$
工期延误天数 $Y$	0	2	6	10

历年气象资料表明，该工程施工期间降水量 $X$ 小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9. 求：
（Ⅰ）工期延误天数 $Y$ 的均值与方差；
（Ⅱ）在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率.

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如图1， $∠ A C B = 45^{°}, B C = 3$ ，过动点 $A$ 作 $A D ⊥ B C$ ，垂足 $D$ 在线段 $B C$ 上且异于点 $B$ ，连接 $A B$ ，沿 $A D$ 将 $△ A B D$ 折起，使 $∠ B D C = 90^{°}$ （如图2所示）．
（Ⅰ）当 $B D$ 的长为多少时，三棱锥 $A - B C D$ 的体积最大；
（Ⅱ）当三棱锥 $A - B C D$ 的体积最大时，设点 $E, M$ 分别为棱 $B C, A C$ 的中点，试在棱 $C D$ 上确定一点 $N$ ，使得 $E N ⊥ B M$ ，并求 $E N$ 与平面 $B M N$ 所成角的大小．

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已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 前三项的和为 $- 3$ ，前三项的积为 $8$ .
（Ⅰ）求等差数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
（Ⅱ）若 $a_{2}$ ， $a_{3}$ ， $a_{1}$ 成等比数列，求数列 $\{|a_{n}|\}$ 的前 $n$ 项和

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已知向量 $a = (\sin ω x - \sin ω x, \sin ω x)$ ， $b = (- \cos ω x - \sin ω x, 2 \sqrt{3} \cos ω x)$ ，设函数 $f (x) = a \cdot b + λ$ $x \in R$ 的图象关于直线 $x = π$ 对称，其中 $ω$ ， $λ$ 为常数，且 $ω \in (\frac{1}{2}, 1)$ .
（Ⅰ）求函数 $f (x)$ 的最小正周期；
（Ⅱ）若 $y = f (x)$ 的图象经过点 $(\frac{π}{4}, 0)$ ，求函数 $f (x)$ 在区间 $[0, \frac{3 π}{5}]$ 上的取值范围.

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