2019年河北省中考数学试卷

下列图形为正多边形的是 $($ 　　 $)$

规定： $(\to 2)$ 表示向右移动2，记作 $+2$ ，则 $(\leftarrow 3)$ 表示向左移动3，记作 $($ 　　 $)$

如图，从点 $C$ 观测点 $D$ 的仰角是 $($ 　　 $)$

语句" $x$ 的 $\frac{1}{8}$ 与 $x$ 的和不超过5"可以表示为 $($ 　　 $)$

如图，菱形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\angle D=150°$ ，则 $\angle 1=($ 　　 $)$

小明总结了以下结论：

① $a(b+c)=\mathit{ab}+\mathit{ac}$ ；

② $a(b-c)=\mathit{ab}-\mathit{ac}$ ；

③ $(b-c)÷a=b÷a-c÷a(a\ne 0)$ ；

④ $a÷(b+c)=a÷b+a÷c(a\ne 0)$

其中一定成立的个数是 $($ 　　 $)$

下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容

则回答正确的是 $($ 　　 $)$

一次抽奖活动特等奖的中奖率为 $\frac{1}{50000}$ ，把 $\frac{1}{50000}$ 用科学记数法表示为 $($ 　　 $)$

如图，在小正三角形组成的网格中，已有6个小正三角形涂黑，还需涂黑 $n$ 个小正三角形，使它们与原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰有三条对称轴，则 $n$ 的最小值为 $($ 　　 $)$

根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是 $($ 　　 $)$

某同学要统计本校图书馆最受学生欢迎的图书种类，以下是排乱的统计步骤：

①从扇形图中分析出最受学生欢迎的种类

②去图书馆收集学生借阅图书的记录

③绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比

④整理借阅图书记录并绘制频数分布表

正确统计步骤的顺序是 $($ 　　 $)$

如图，函数 $y=\left\{\begin{array}{c}\frac{1}{x}(x>0),\\ -\frac{1}{x}(x<0)\end{array}\right.$ 的图象所在坐标系的原点是 $($ 　　 $)$

如图，若 $x$ 为正整数，则表示 $\frac{{(x+2)}^2}{x^2+4x+4}-\frac{1}{x+1}$ 的值的点落在 $($ 　　 $)$

图2是图1中长方体的三视图，若用 $S$ 表示面积， $S_{主}=x^2+2x$ ， $S_{左}=x^2+x$ ，则 $S_{俯}=($ 　　 $)$

小刚在解关于 $x$ 的方程 $a{x}^2+\mathit{bx}+c=0(a\ne 0)$ 时，只抄对了 $a=1$ ， $b=4$ ，解出其中一个根是 $x=-1$ ．他核对时发现所抄的 $c$ 比原方程的 $c$ 值小2．则原方程的根的情况是 $($ 　　 $)$

对于题目："如图1，平面上，正方形内有一长为12、宽为6的矩形，它可以在正方形的内部及边界通过移转（即平移或旋转）的方式，自由地从横放移转到竖放，求正方形边长的最小整数 $n$ ．"甲、乙、丙作了自认为边长最小的正方形，先求出该边长 $x$ ，再取最小整数 $n$ ．

甲：如图2，思路是当 $x$ 为矩形对角线长时就可移转过去；结果取 $n=13$ ．

乙：如图3，思路是当 $x$ 为矩形外接圆直径长时就可移转过去；结果取 $n=14$ ．

丙：如图4，思路是当 $x$ 为矩形的长与宽之和的 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 倍时就可移转过去；结果取 $n=13$ ．

下列正确的是 $($ 　　 $)$

若$7^{-2}\times 7^{-1}\times 7^0=7^p$，则$p$的值为　　．

如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．

示例：即$4+3=7$

则（1）用含$x$的式子表示$m=$　　；

（2）当$y=-2$时，$n$的值为　　．

勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了$A$，$B$，$C$三地的坐标，数据如图（单位：$\mathit{km})$．笔直铁路经过$A$，$B$两地．

（1）$A$，$B$间的距离为　　$\mathit{km}$；

（2）计划修一条从$C$到铁路$\mathit{AB}$的最短公路$l$，并在$l$上建一个维修站$D$，使$D$到$A$，$C$的距离相等，则$C$，$D$间的距离为　　$\mathit{km}$．

有个填写运算符号的游戏：在“1□2□6□9”中的每个□内，填入$+$，$-$，$\times$，$÷$中的某一个（可重复使用），然后计算结果．

（1）计算：$1+2-6-9$；

（2）若$1÷2\times 6$□$9=-6$，请推算□内的符号；

（3）在“1□2□$6-9$”的□内填入符号后，使计算所得数最小，直接写出这个最小数．

已知：整式$A={(n^2-1)}^2+{\left(2n\right)}^2$，整式$B>0$．

尝试 化简整式$A$．

发现$A=B^2$，求整式$B$．

联想 由上可知，$B^2={(n^2-1)}^2+{\left(2n\right)}^2$，当$n>1$时，$n^2-1$，$2n$，$B$为直角三角形的三边长，如图．填写下表中$B$的值：

某球室有三种品牌的4个乒乓球，价格是7，8，9（单位：元）三种．从中随机拿出一个球，已知$P$（一次拿到8元球）$=\frac{1}{2}$．

（1）求这4个球价格的众数；

（2）若甲组已拿走一个7元球训练，乙组准备从剩余3个球中随机拿一个训练．

①所剩的3个球价格的中位数与原来4个球价格的中位数是否相同？并简要说明理由；

②乙组先随机拿出一个球后放回，之后又随机拿一个，用列表法（如图）求乙组两次都拿到8元球的概率．

如图，$\mathit{\Delta ABC}$和$\mathit{\Delta ADE}$中，$\mathit{AB}=\mathit{AD}=6$，$\mathit{BC}=\mathit{DE}$，$\angle B=\angle D=30°$，边$\mathit{AD}$与边$\mathit{BC}$交于点$P$（不与点$B$，$C$重合），点$B$，$E$在$\mathit{AD}$异侧，$I$为$\mathit{\Delta APC}$的内心．

（1）求证：$\angle \mathit{BAD}=\angle \mathit{CAE}$；

（2）设$\mathit{AP}=x$，请用含$x$的式子表示$\mathit{PD}$，并求$\mathit{PD}$的最大值；

（3）当$\mathit{AB}\perp \mathit{AC}$时，$\angle \mathit{AIC}$的取值范围为$m°<\angle \mathit{AIC}<n°$，分别直接写出$m$，$n$的值．

长为$300m$的春游队伍，以$v(m/s)$的速度向东行进，如图1和图2，当队伍排尾行进到位置$O$时，在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回排尾，甲的往返速度均为$2v(m/s)$，当甲返回排尾后，他及队伍均停止行进．设排尾从位置$O$开始行进的时间为$t\left(s\right)$，排头与$O$的距离为$S_{头}\left(m\right)$．

（1）当$v=2$时，解答：

①求$S_{头}$与$t$的函数关系式（不写$t$的取值范围）；

②当甲赶到排头位置时，求$S_{头}$的值；在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与位置$O$的距离为$S_{甲}\left(m\right)$，求$S_{甲}$与$t$的函数关系式（不写$t$的取值范围）

（2）设甲这次往返队伍的总时间为$T\left(s\right)$，求$T$与$v$的函数关系式（不写$v$的取值范围），并写出队伍在此过程中行进的路程．

如图1和2，$▱\mathit{ABCD}$中，$\mathit{AB}=3$，$\mathit{BC}=15$，$\tan \angle \mathit{DAB}=\frac{4}{3}$．点$P$为$\mathit{AB}$延长线上一点，过点$A$作$\odot O$切$\mathit{CP}$于点$P$，设$\mathit{BP}=x$．

（1）如图1，$x$为何值时，圆心$O$落在$\mathit{AP}$上？若此时$\odot O$交$\mathit{AD}$于点$E$，直接指出$\mathit{PE}$与$\mathit{BC}$的位置关系；

（2）当$x=4$时，如图2，$\odot O$与$\mathit{AC}$交于点$Q$，求$\angle \mathit{CAP}$的度数，并通过计算比较弦$\mathit{AP}$与劣弧$\widehat{\mathit{PQ}}$长度的大小；

（3）当$\odot O$与线段$\mathit{AD}$只有一个公共点时，直接写出$x$的取值范围．

如图，若$b$是正数，直线$l:y=b$与$y$轴交于点$A$；直线$a:y=x-b$与$y$轴交于点$B$；抛物线$L:y=-x^2+\mathit{bx}$的顶点为$C$，且$L$与$x$轴右交点为$D$．

（1）若$\mathit{AB}=8$，求$b$的值，并求此时$L$的对称轴与$a$的交点坐标；

（2）当点$C$在$l$下方时，求点$C$与$l$距离的最大值；

（3）设$x_0\ne 0$，点$(x_0$，$y_1)$，$(x_0$，$y_2)$，$(x_0$，$y_3)$分别在$l$，$a$和$L$上，且$y_3$是$y_1$，$y_2$的平均数，求点$(x_0$，$0)$与点$D$间的距离；

（4）在$L$和$a$所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出$b=2019$和$b=2019.5$时“美点”的个数．