上海市卢湾区高三第二次模拟考试数学卷（理）

设集合，，若，则实数的取值范围是   ．

函数（）的值域为      ．

若，则的值等于      ．

若函数，则方程的解      ．

函数的最小正周期     ．

若体积为的正方体的各个顶点均在一球面上，则该球的体积为   （结果保留）．

若平面内不共线的四点满足，则_______．

在极坐标系中，圆的圆心与点的距离为     ．

有一种彩票，每注售价元，中奖的概率为．如果每注奖的奖金为元，那么购买一注彩票的期望收益为     元．

如图，由编号，，…，，…（且）的圆柱自下而上组成．其中每一个圆柱的高与其底面圆的直径相等，且对于任意两个相邻圆柱，上面圆柱的高是下面圆柱的高的一半．若编号1的圆柱的高为，则所有圆柱的体积为         （结果保留）．

某公司为改善职工的出行条件，随机抽取名职工，调查他们的居住地与公司的距离(单位:千米)．若样本数据分组为，，，，，，由数据绘制的分布频率直方图如图所示，则样本中职工居住地与公司的距离不超过千米的人数为       人．

已知二次函数的图像为开口向下的抛物线，且对任意都有．若向量，，则满足不等式的的取值范围为        ．

在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标均为整数的点称为整点，对任意自然数，联结原点与点，若用表示线段上除端点外的整点个数，则______．

若不等式对于一切正数、恒成立，则实数的最小值为     ．

式子等于（  ）．

A．

B．

C．

D．

关于、的二元一次方程组的系数行列式是该方程组有解的（  ）．

若函数（）为奇函数，且存在反函数（与不同），，则下列关于函数的奇偶性的说法中正确的是（  ）．

A．是奇函数非偶函数	B．是偶函数非奇函数
C．既是奇函数又是偶函数	D．既非奇函数又非偶函数

已知曲线：，下列叙述中错误的是（  ）．

A．垂直于轴的直线与曲线只有一个交点

B．直线（）与曲线最多有三个交点

C．曲线关于直线对称

D．若，为曲线上任意两点，则有

已知关于的实系数一元二次方程有两个虚根，，且（为虚数单位），，求实数的值．

（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
在长方体中，，过、、三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体，且这个几何体的体积为．
（1）求棱的长；
（2）求点到平面的距离．

本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分．
如图，反比例函数（）的图像过点和，点为该函数图像上一动点，过分别作轴、轴的垂线，垂足为、．记四边形（为坐标原点）与三角形的公共部分面积为．
（1）求关于的表达式；
（2）求的最大值及此时的值．

本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．
已知椭圆：（），其焦距为，若（），则称椭圆为“黄金椭圆”．
（1）求证：在黄金椭圆：（）中，、、成等比数列．
（2）黄金椭圆：（）的右焦点为，为椭圆上的
任意一点．是否存在过点、的直线，使与轴的交点满足？若存在，求直线的斜率；若不存在，请说明理由．
（3）在黄金椭圆中有真命题：已知黄金椭圆：（）的左、右
焦点分别是、，以、、、为顶点的菱形的内切圆过焦点、．
试写出“黄金双曲线”的定义；对于上述命题，在黄金双曲线中写出相关的真命题，并加以证明．

本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
从数列中取出部分项，并将它们按原来的顺序组成一个数列，称之为数列的一个子数列．
设数列是一个首项为、公差为的无穷等差数列．
（1）若，，成等比数列，求其公比．
（2）若，从数列中取出第2项、第6项作为一个等比数列的第1项、第2项，试问该数列是否为的无穷等比子数列，请说明理由．
（3）若，从数列中取出第1项、第项（设）作为一个等比数列的第1项、第2项，试问当且仅当为何值时，该数列为的无穷等比子数列，请说明理由．