如图所示，在一固定的竖直光滑圆弧轨道内部的最低点，静止有一个可视为质点的小球，已知地球表面的重力加速度为g, 圆弧轨道的半径为r, 则为了使小球能在竖直平面内运动且不脱离圆弧轨道，求小球的初速度v0应该满足的条件？
万有引力定律揭示了天体运动的规律与地上物体运动规律具有内在的一致性。
（1）用弹簧秤称量一个相对于地球静止的小物体的重量，随称量位置的变化可能会有不同的结果。已知地球的质量为，自转周期为
，引力常量为
。将地球看作是半径为
，质量均匀分布的球体，不考虑空气的影响。设在地球北极地面称量时，弹簧秤的读数
。
a.若在北极上空处称量，弹簧秤的读数为
，求比值
的表达式（并就
的情形算出具体数值，（计算结果保留两位有效数字）
b.若在赤道地面处称量，弹簧秤的读数为，求比值
的表达式
（2）设想地球绕太阳公转的半径为，太阳的半径为
，地球的半径为
，三者均减小为现在的1.0%，太阳和地球的密度均匀且不变，仅考虑太阳和地球之间的相互作用，以现实地球的1年为标准，计算"设想地球"的一年将变为多长？
如图所示，竖直平面内的四分之一圆弧轨道下端与水平桌面相切，小滑块和
分别静止在圆弧轨道的最高点和最低点。现将
无初速度释放，
与
碰撞后结合为一个整体，并沿桌面滑动。已知圆弧轨道光滑，半径
，
与
的质量相等，
与
整体与桌面之间的动摩擦因数
。取重力加速度
，求：
（1）碰撞前瞬间的速率
。
（2）碰撞后瞬间与
整体的速度。
（3）与
整体在桌面上滑动的距离
。
在光滑水平地面上有一凹槽，中央放一小物块
，物块与左右两边槽壁的距离如图所示，
为
，凹槽与物块的质量均为
，两者之间的动摩擦因数
为
，开始时物块静止，凹槽以
初速度向右运动，设物块与凹槽槽壁碰撞过程中没有能量损失，且碰撞时间不计。
取
。求：
（1）物块与凹槽相对静止时的共同速度；
（2）从凹槽开始运动到两者相对静止物块与右侧槽壁碰撞的次数；
（3）从凹槽开始运动到两者刚相对静止所经历的时间及该时间内凹槽运动的位移大小。
如图1所示，匀强磁场的磁感应强度为0.5
.其方向垂直于倾角
为30°的斜面向上。绝缘斜面上固定有
形状的光滑金属导轨
（电阻忽略不计），
和
长度均为2.5
，
连线水平，长为3
。以
中点
为原点、
为
轴建立一维坐标系
。一根粗细均匀的金属杆
，长度
为3
、质量
为1
、电阻
为0.3
，在拉力
的作用下，从
处以恒定的速度
=1
，在导轨上沿
轴正向运动（金属杆与导轨接触良好）。g取10
2。
（1）求金属杆运动过程中产生产生的感应电动势
及运动到
处电势差
；
（2）推导金属杆从
处运动到
点过程中拉力
与位置坐标
的关系式，并在图2中画出
关系图象；
（3）求金属杆从
处运动到
点的全过程产生的焦耳热。
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