某校在水平直道举行托乒乓球跑步比赛，比赛距离为S。某同学将球置于球拍中心，从静止开始做匀加速直线运动，加速度大小为a，当速度达到v₀时，再以v₀做匀速直线运动跑至终点。整个过程中球一直保持在球拍中心不动。在匀速直线运动阶段保持球拍的倾角为θ₀，如图所示，设球在运动中受到的空气阻力大小与其速度大小成正比，方向与运动方向相反，不计球与球拍间的摩擦，球的质量为m，重力加速度为g。

(1)求空气阻力大小与球速大小的比例系数k；
(2)求在加速跑阶段球拍倾角θ随速度v变化的关系式；
(3)整个匀速跑阶段，若该同学速度仍为v₀，而球拍的倾角比θ₀大了β并保持不变，不计球在球拍上的移动引起的空气阻力变化，为保证到达终点前球不从球拍上距离中心为r的下边沿掉落，求β应满足的条件。