初中数学试题

某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥．如图，该河旁有一座小山，山高 $\mathit{BC}=80m$ ，坡面 $\mathit{AB}$ 的坡度 $i=1:0.7$ （注：坡度 $i$ 是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），点 $C$ 、 $A$ 与河岸 $E$ 、 $F$ 在同一水平线上，从山顶 $B$ 处测得河岸 $E$ 和对岸 $F$ 的俯角分别为 $\angle \mathit{DBE}=45°$ ， $\angle \mathit{DBF}=31°$ ．

（1）求山脚 $A$ 到河岸 $E$ 的距离；

（2）若在此处建桥，试求河宽 $\mathit{EF}$ 的长度．（结果精确到 $0.1m)$

（参考数据： $\sin 31°\approx 0.52$ ， $\cos 31°\approx 0.86$ ， $\tan 31°\approx 0.60)$

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 中， $\angle C=90°$ ， $\mathit{AB}$ 的垂直平分线分别交 $\mathit{AB}$ 、 $\mathit{AC}$ 于点 $D$ 、 $E$ ， $\mathit{BE}=8$ ， $\odot O$ 为 $\mathit{\Delta BCE}$ 的外接圆，过点 $E$ 作 $\odot O$ 的切线 $\mathit{EF}$ 交 $\mathit{AB}$ 于点 $F$ ，则下列结论正确的是 　　 $.$ （写出所有正确结论的序号）

① $\mathit{AE}=\mathit{BC}$ ；

② $\angle \mathit{AED}=\angle \mathit{CBD}$ ；

③若 $\angle \mathit{DBE}=40°$ ，则 $\widehat{\mathit{DE}}$ 的长为 $\frac{8\pi }{9}$ ；

④ $\frac{\mathit{DF}}{\mathit{EF}}=\frac{\mathit{EF}}{\mathit{BF}}$ ；

⑤若 $\mathit{EF}=6$ ，则 $\mathit{CE}=2.24$ ．

定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为"互异二次函数"．如图，在正方形 $\mathit{OABC}$ 中，点 $A(0,2)$ ，点 $C(2,0)$ ，则互异二次函数 $y={(x-m)}^2-m$ 与正方形 $\mathit{OABC}$ 有交点时 $m$ 的最大值和最小值分别是 $($ 　　 $)$

A．

4， $-1$

B．

$\frac{5-\sqrt{17}}{2}$ ， $-1$

C．

4，0

D．

$\frac{5+\sqrt{17}}{2}$ ， $-1$

已知关于 $x$的二次函数 $y_1=x^2+\mathit{bx}+c$（实数 $b$， $c$为常数）．

（1）若二次函数的图象经过点 $(0,4)$，对称轴为 $x=1$，求此二次函数的表达式；

（2）若 $b^2-c=0$，当 $b-3⩽x⩽b$时，二次函数的最小值为21，求 $b$的值；

（3）记关于 $x$的二次函数 $y_2=2x^2+x+m$，若在（1）的条件下，当 $0⩽x⩽1$时，总有 $y_2⩾y_1$，求实数 $m$的最小值．

如图1， $\mathit{AB}$ 是 $\odot O$ 的直径，点 $E$ 是 $\odot O$ 上一动点，且不与 $A$ ， $B$ 两点重合， $\angle \mathit{EAB}$ 的平分线交 $\odot O$ 于点 $C$ ，过点 $C$ 作 $\mathit{CD}\perp \mathit{AE}$ ，交 $\mathit{AE}$ 的延长线于点 $D$ ．

（1）求证： $\mathit{CD}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）求证： $A{C}^2=2\mathit{AD}\cdot \mathit{AO}$ ；

（3）如图2，原有条件不变，连接 $\mathit{BE}$ ， $\mathit{BC}$ ，延长 $\mathit{AB}$ 至点 $M$ ， $\angle \mathit{EBM}$ 的平分线交 $\mathit{AC}$ 的延长线于点 $P$ ， $\angle \mathit{CAB}$ 的平分线交 $\angle \mathit{CBM}$ 的平分线于点 $Q$ ．求证：无论点 $E$ 如何运动，总有 $\angle P=\angle Q$ ．

若 $x$ ， $y$ 均为实数， ${43}^x=2021$ ， ${47}^y=2021$ ，则：

（1） ${43}^{\mathit{xy}}\cdot {47}^{\mathit{xy}}=($ 　 　 ${)}^{x+y}$ ；

（2） $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=$ 　　．

定义：若 ${10}^x=N$ ，则 $x={\log }_{10}N$ ， $x$ 称为以10为底的 $N$ 的对数，简记为 $\mathit{lgN}$ ，其满足运算法则： $\mathit{lgM}+\mathit{lgN}=\mathit{lg}(M\cdot N)(M>0$ ， $N>0)$ ．例如：因为 ${10}^2=100$ ，所以 $2=\mathit{lg}100$ ，亦即 $\mathit{lg}100=2$ ； $\mathit{lg}4+\mathit{lg}3=\mathit{lg}12$ ．根据上述定义和运算法则，计算 ${\left(\mathit{lg}2\right)}^2+\mathit{lg}2\cdot \mathit{lg}5+\mathit{lg}5$ 的结果为 $($ 　　 $)$

A．

5

B．

2

C．

1

D．

0

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $C:y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$ 经过点 $(1,1)$ 和 $(4,1)$ ．

（1）求抛物线 $C$ 的对称轴．

（2）当 $a=-1$ 时，将抛物线 $C$ 向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线 $C_1$ ．

①求抛物线 $C_1$ 的解析式．

②设抛物线 $C_1$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的右侧），与 $y$ 轴交于点 $C$ ，连接 $\mathit{BC}$ ．点 $D$ 为第一象限内抛物线 $C_1$ 上一动点，过点 $D$ 作 $\mathit{DE}\perp \mathit{OA}$ 于点 $E$ ．设点 $D$ 的横坐标为 $m$ ．是否存在点 $D$ ，使得以点 $O$ ， $D$ ， $E$ 为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta BOC}$ 相似，若存在，求出 $m$ 的值；若不存在，请说明理由．

如图①， $E$ 、 $F$ 是等腰 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 的斜边 $\mathit{BC}$ 上的两动点， $\angle \mathit{EAF}=45°$ ， $\mathit{CD}\perp \mathit{BC}$ 且 $\mathit{CD}=\mathit{BE}$ ．

（1）求证： $\mathit{\Delta ABE}\cong \mathit{\Delta ACD}$ ；

（2）求证： $E{F}^2=B{E}^2+C{F}^2$ ；

（3）如图②，作 $\mathit{AH}\perp \mathit{BC}$ ，垂足为 $H$ ，设 $\angle \mathit{EAH}=\alpha$ ， $\angle \mathit{FAH}=\beta$ ，不妨设 $\mathit{AB}=\sqrt{2}$ ，请利用（2）的结论证明：当 $\alpha +\beta =45°$ 时， $\tan (\alpha +\beta )=\frac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \cdot \tan \beta }$ 成立．

某超市从厂家购进 $A$ 、 $B$ 两种型号的水杯，两次购进水杯的情况如表：

进货批次	$A$ 型水杯（个     $)$	$B$ 型水杯（个     $)$	总费用（元     $)$
一	100	200	8000
二	200	300	13000

（1）求 $A$ 、 $B$ 两种型号的水杯进价各是多少元？

（2）在销售过程中， $A$ 型水杯因为物美价廉而更受消费者喜欢．为了增大 $B$ 型水杯的销售量，超市决定对 $B$ 型水杯进行降价销售，当销售价为44元时，每天可以售出20个，每降价1元，每天将多售出5个，请问超市应将 $B$ 型水杯降价多少元时，每天售出 $B$ 型水杯的利润达到最大？最大利润是多少？

（3）第三次进货用10000元钱购进这两种水杯，如果每销售出一个 $A$ 型水杯可获利10元，售出一个 $B$ 型水杯可获利9元，超市决定每售出一个 $A$ 型水杯就为当地"新冠疫情防控"捐 $b$ 元用于购买防控物资．若 $A$ 、 $B$ 两种型号的水杯在全部售出的情况下，捐款后所得的利润始终不变，此时 $b$ 为多少？利润为多少？

观察等式： $2+2^2=2^3-2$， $2+2^2+2^3=2^4-2$， $2+2^2+2^3+2^4=2^5-2$， $\dots$，已知按一定规律排列的一组数： $2^{100}$， $2^{101}$， $2^{102}$， $\dots$， $2^{199}$，若 $2^{100}=m$，用含 $m$的代数式表示这组数的和是 　　．

如图，菱形 $\mathit{ABCD}$ 的四个顶点均在坐标轴上，对角线 $\mathit{AC}$ 、 $\mathit{BD}$ 交于原点 $O$ ， $\mathit{AE}\perp \mathit{BC}$ 于 $E$ 点，交 $\mathit{BD}$ 于 $M$ 点，反比例函数 $y=\frac{\sqrt{3}}{3x}(x>0)$ 的图象经过线段 $\mathit{DC}$ 的中点 $N$ ，若 $\mathit{BD}=4$ ，则 $\mathit{ME}$ 的长为 $($ 　　 $)$

A．

$\mathit{ME}=\frac{5}{3}$

B．

$\mathit{ME}=\frac{4}{3}$

C．

$\mathit{ME}=1$

D．

$\mathit{ME}=\frac{2}{3}$

如图， $\mathit{\Delta OAB}$ 的顶点坐标分别为 $O(0,0)$ ， $A(3,4)$ ， $B(6,0)$ ，动点 $P$ 、 $Q$ 同时从点 $O$ 出发，分别沿 $x$ 轴正方向和 $y$ 轴正方向运动，速度分别为每秒3个单位和每秒2个单位，点 $P$ 到达点 $B$ 时点 $P$ 、 $Q$ 同时停止运动．过点 $Q$ 作 $\mathit{MN}//\mathit{OB}$ 分别交 $\mathit{AO}$ 、 $\mathit{AB}$ 于点 $M$ 、 $N$ ，连接 $\mathit{PM}$ 、 $\mathit{PN}$ ．设运动时间为 $t$ （秒 $)$ ．

（1）求点 $M$ 的坐标（用含 $t$ 的式子表示）；

（2）求四边形 $\mathit{MNBP}$ 面积的最大值或最小值；

（3）是否存在这样的直线 $l$ ，总能平分四边形 $\mathit{MNBP}$ 的面积？如果存在，请求出直线 $l$ 的解析式；如果不存在，请说明理由；

（4）连接 $\mathit{AP}$ ，当 $\angle \mathit{OAP}=\angle \mathit{BPN}$ 时，求点 $N$ 到 $\mathit{OA}$ 的距离．

如图1，菱形 $\mathit{ABCD}$ 的对角线 $\mathit{AC}$ 与 $\mathit{BD}$ 相交于点 $O$ ， $P$ 、 $Q$ 两点同时从 $O$ 点出发，以1厘米 $/$ 秒的速度在菱形的对角线及边上运动．点 $P$ 的运动路线为 $O-A-D-O$ ，点 $Q$ 的运动路线为 $O-C-B-O$ ．设运动的时间为 $x$ 秒， $P$ 、 $Q$ 间的距离为 $y$ 厘米， $y$ 与 $x$ 的函数关系的图象大致如图2所示，当点 $P$ 在 $A-D$ 段上运动且 $P$ 、 $Q$ 两点间的距离最短时， $P$ 、 $Q$ 两点的运动路程之和为 　　厘米．

如图，矩形纸片 $\mathit{ABCD}$ ， $\mathit{AB}=4$ ， $\mathit{BC}=8$ ，点 $M$ 、 $N$ 分别在矩形的边 $\mathit{AD}$ 、 $\mathit{BC}$ 上，将矩形纸片沿直线 $\mathit{MN}$ 折叠，使点 $C$ 落在矩形的边 $\mathit{AD}$ 上，记为点 $P$ ，点 $D$ 落在 $G$ 处，连接 $\mathit{PC}$ ，交 $\mathit{MN}$ 于点 $Q$ ，连接 $\mathit{CM}$ ．下列结论：①四边形 $\mathit{CMPN}$ 是菱形；②点 $P$ 与点 $A$ 重合时， $\mathit{MN}=5$ ；③ $\mathit{\Delta PQM}$ 的面积 $S$ 的取值范围是 $4⩽S⩽5$ ．其中所有正确结论的序号是 $($ 　　 $)$

A．

①②③

B．

①②

C．

①③

D．

②③