初中数学三角形的五心解答题

（本题5分）如图，将一根15cm长的细木棒放入长、宽、高分别为4cm，3cm和12cm的长方体无盖盒子中，则细木棒露在外面的最短长度是多少？

在△ABC，∠BAC为锐角，AB>AC， AD平分∠BAC交BC于点D．
（1）如图1，若△ABC是等腰直角三角形，直接写出线段AC，CD，AB之间的数量关系；
（2）BC的垂直平分线交AD延长线于点E，交BC于点F．
①如图2，若∠ABE=60°，判断AC，CE，AB之间有怎样的数量关系并加以证明；
②如图3，若，求∠BAC的度数．

已知抛物线E₁：y=x²经过点A（1，m），以原点为顶点的抛物线E₂经过点B（2，2），点A、B关于y 轴的对称点分别为点A′，B′．

（1）求m的值及抛物线E₂所表示的二次函数的表达式；
（2）如图1，在第一象限内，抛物线E₁上是否存在点Q，使得以点Q、B、B′为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，P为第一象限内的抛物线E₁上与点A不重合的一点，连接OP并延长与抛物线E₂相交于点P′，求△PAA′与△P′BB′的面积之比．

把一条12个单位长度的线段分成三条线段，其中一条线段长为4个单位长度，另两条线段长都是单位长度的整数倍.
（1）不同分法得到的三条线段能组成多少个不全等的三角形？用尺规作出这些三角形（用给定的单位长度，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求出（1）中所作三角形外接圆的周长.

如图（1），（2）所示，矩形ABCD的边长AB=6，BC=4，点F在DC上，DF=2．动点M、N分别从点D、B同时出发，沿射线DA、线段BA向点A的方向运动（点M可运动到DA的延长线上），当动点N运动到点A时，M、N两点同时停止运动．连接FM、FN，当F、N、M不在同一直线时，可得△FMN，过△FMN三边的中点作△PWQ．设动点M、N的速度都是1个单位/秒，M、N运动的时间为x秒．试解答下列问题：

（1）说明△FMN∽△QWP；
（2）设0≤x≤4（即M从D到A运动的时间段）．试问x为何值时，△PWQ为直角三角形？当x在何范围时，△PQW不为直角三角形？
（3）问当x为何值时，线段MN最短？求此时MN的值．

在△ABC中，∠A=90°，AB=8，AC=6，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MN∥BC交AC于点N．以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMPN．
设AM=x．
（1）用含x的代数式表示△MNP的面积S；
（2）在动点M的运动过程中，记△MNP与梯形BCNM重合部分的面积为y，试求关于y的函数表达式，并求 x为何值时，y的值最大，最大值是多少？

（1）知识再现
如图（1）：若点A，B在直线l同侧，A，B到l的距离分别是3和2，AB="4，现在直线l上找一点P，使AP+BP的值最小，做法如下："
作点A关于直线l的对称点A′，连接BA′，与直线l的交点就是所求的点P，线段BA′的长度即为AP+BP的最小值，请你求出这个最小值．
（2）实践应用
①如图（2），⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC="60°P是OB上一动点" ，则PA+PC的最小值是              
②如图（3），Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上，顶点B的坐标为（3，），点C的坐标为（1，0），点P为斜边OB上的一动点，则PA+PC的最小值为         
③如图（4），菱形ABCD中AB="2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点" ， 则PK+QK的最小值为                
④如图（5），在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，点D是BC边上的点，CD=，将△ACD沿直线AD翻折，使点C落在AB边上的点E处，若点P是直线AD上的动点，则△PEB的周长的最小值是          
（3）拓展延伸
如图（6）：在四边形ABCD的对角线AC上找一点P，使∠APB=∠APD，保留作图痕迹，不必写出作法．

已知△ABC中，∠C是其最小的内角，如果过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为△ABC的关于点B的伴侣分割线．例如：如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝20°，过顶点B的一条直线BD交AC于点D，且∠DBC＝20°，显然直线BD是△ABC的关于点B的伴侣分割线．

（1）如图2，在△ABC中，∠C＝20°，∠ABC＝110°．请在图中画出△ABC的关于点B 的伴侣分割线，并标注角度；
（2）在△ABC中，设∠B的度数为y，最小内角∠C的度数为x．试探索y与x之间满足怎样的关系时，△ABC存在关于点B的伴侣分割线．

如图，AD⊥BC，垂足为D．CD=1，AD=2，BD=4．

（1）求∠BAC的度数？并说明理由；
（2）P是边BC上一点，连结AP，当△ACP为等腰三角形时，求CP的长．

如图，点A是5×5网格图形中的一个格点，图中每个小正方形的边长为1，请在网格中按下列要求操作：

（1）以点A为其中的一个顶点，在图（1）中画一个面积等于3的格点直角三角形；
（2）以点A为其中的一个顶点，在图（2）中画一个面积等于的格点等腰直角三角形．

如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6cm，BC=10cm，点D在线段AC上，且CD=2cm，动点P从BA的延长线上距A点10cm的E点出发，以每秒2cm的速度沿射线EA的方向运动了秒。

（1）求AD的长；
（2）直接写出用含有的代数式表示PE=_________；
（3）在运动过程中，是否存在某个时刻，使△ABC与△ADP全等？若存在，请求出值；若不存在，请说明理由．

若一个三角形的三个顶点均在一个图形的不同的边上，则称此三角形为该图形的内接三角形．

（1）在图①中画出△ABC的一个内接直角三角形；
（2）如图②，已知△ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝45°，AB＝8，AD为BC边上的高，探究以D为一个顶点作△ABC的内接三角形，其周长是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由；
（3）如图③，△ABC为等腰直角三角形，∠C＝90°，AC＝６，试探究：△ABC的内接等腰直角三角形的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．

如图，已知△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm。

（1）若P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从A沿A→B方向运动，速度为每秒1cm，点Q从B沿B→C方向运动，速度为每秒2cm，两点同时出发，设出发时间为t秒．①当t=1秒时，求PQ的长；②从出发几秒钟后，△PQB是等腰三角形？
（2）若M在△ABC边上沿B→A→C方向以每秒3cm的速度运动，则当点M在边CA上运动时，求△BCM成为等腰三角形时M运动的时间．

已知△ABC三边长都是整数且互不相等，它的周长为12，当BC为最大边时，求∠A的度数．

如图，已知AB是⊙O的直径，AB=8， 点C在半径OA上（点C与点O、A不重合），过点C作AB的垂线交⊙O于点D，连结OD，过点B作OD的平行线交⊙O于点E、交射线CD于点F．

（1）若，求∠F的度数；
（2）设写出与之间的函数解析式，并写出自变量取值范围；
（3）设点C关于直线OD的对称点为P，若△PBE为等腰三角形，求OC的长．