如图①，抛物线与
轴交于点
，与
轴交于点
，
，将直线
绕点
逆时针旋转
，所得直线与
轴交于点
．
（1）求直线的函数解析式；
（2）如图②，若点是直线
上方抛物线上的一个动点
①当点到直线
的距离最大时，求点
的坐标和最大距离；
②当点到直线
的距离为
时，求
的值．
如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过原点
，顶点为
．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）设点为抛物线
的对称轴上的一点，点
在该抛物线上，当四边
形为菱形时，求出点
的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线在第一象限的图象上是否存在一点
，使得点
到直线
的距离与其到
轴的距离相等？若存在，求出直线
的函数解析式；若不存在，请说明理由．
如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过原点
，顶点为
．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）设点为抛物线
的对称轴上的一点，点
在该抛物线上，当四边
形为菱形时，求出点
的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线在第一象限的图象上是否存在一点
，使得点
到直线
的距离与其到
轴的距离相等？若存在，求出直线
的函数解析式；若不存在，请说明理由．
如图1，经过等边
的顶点
，
（圆心
在
内），分别与
，
的延长线交于点
，
，连结
，
交
于点
．
（1）求证：．
（2）当，
时，求
的长．
（3）设，
．
①求关于
的函数表达式；
②如图2，连结，
，若
的面积是
面积的10倍，求
的值．
如图1，已知在平面直角坐标系中，四边形
是矩形，点
，
分别在
轴和
轴的正半轴上，连结
，
，
，
是
的中点．
（1）求的长和点
的坐标；
（2）如图2，是线段
上的点，
，点
是线段
上的一个动点，经过
，
，
三点的抛物线交
轴的正半轴于点
，连结
交
于点
．
①将沿
所在的直线翻折，若点
恰好落在
上，求此时
的长和点
的坐标；
②以线段为边，在
所在直线的右上方作等边
，当动点
从点
运动到点
时，点
也随之运动，请直接写出点
运动路径的长．
如图，已知锐角三角形内接于圆
，
于点
，连接
．
（1）若，
①求证：．
②当时，求
面积的最大值．
（2）点在线段
上，
，连接
，设
，
，
是正数），若
，求证：
．
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与
轴交于点
，
（点
在点
的左侧），交
轴于点
，点
为抛物线的顶点，对称轴与
轴交于点
．
（1）连结，点
是线段
上一动点（点
不与端点
，
重合），过点
作
，交抛物线于点
（点
在对称轴的右侧），过点
作
轴，垂足为
，交
于点
，点
是线段
上一动点，当
取得最大值时，求
的最小值；
（2）在（1）中，当取得最大值，
取得最小值时，把点
向上平移
个单位得到点
，连结
，把
绕点
顺时针旋转一定的角度
，得到△
，其中边
交坐标轴于点
．在旋转过程中，是否存在一点
，使得
？若存在，请直接写出所有满足条件的点
的坐标；若不存在，请说明理由．
如图，是
的直径，
、
两点在
的延长线上，
是
上的点，且
，延长
至
，使得
，设
，
．
（1）求证：；
（2）求，
的长；
（3）若点在
、
、
三点确定的圆上，求
的长．
问题提出
（1）如图①，在中，
，
，点
关于
所在直线的对称点为
，则
的长度为 ．
问题探究
（2）如图②，半圆的直径
，
是
的中点，点
在
上，且
，
是
上的动点，试求
的最小值．
问题解决
（3）如图③，扇形花坛的半径为
，
．根据工程需要．现想在
上选点
，在边
上选点
，在边
上选点
，用装饰灯带在花坛内的地面上围成一个
，使晚上点亮时，花坛中的花卉依然赏心悦目．为了既节省材料，又美观大方，需使得灯带
的长度最短，并且用长度最短的灯带围成的
为等腰三角形．试求
的值最小时的等腰
的面积．（安装损耗忽略不计）
在中，
，
分别是
两边的中点，如果
上的所有点都在
的内部或边上，则称
为
的中内弧．例如，图1中
是
的一条中内弧．
（1）如图2，在中，
，
，
分别是
，
的中点，画出
的最长的中内弧
，并直接写出此时
的长；
（2）在平面直角坐标系中，已知点，
，
，
，在
中，
，
分别是
，
的中点．
①若，求
的中内弧
所在圆的圆心
的纵坐标的取值范围；
②若在中存在一条中内弧
，使得
所在圆的圆心
在
的内部或边上，直接写出
的取值范围．
若一个三角形的三个顶点均在一个图形的不同的边上，则称此三角形为该图形的内接三角形．
（1）在图①中画出△ABC的一个内接直角三角形；
（2）如图②，已知△ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝45°，AB＝8，AD为BC边上的高，探究以D为一个顶点作△ABC的内接三角形，其周长是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由；
（3）如图③，△ABC为等腰直角三角形，∠C＝90°，AC＝６，试探究：△ABC的内接等腰直角三角形的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
先阅读短文，然后回答短文后面所给出的问题：
对于三个数a、b、c的平均数，最小的数都可以给出符号来表示，我们规定
表示这三个数的平均数，
表示这三个数中的最小的数，
表示这三个数中最大的数．例如：
，
，
；
，
．
（1）请填空：
；若
，则
；
（2）若
，求
的取值范围；
（3）若
，求的值．
某地因持续高温干旱，村民饮水困难，镇政府组织村民组成水源行动小组到村镇周边找水。某村民在山洞
里发现了暗河（如图所示），经勘察，在山洞的西面有一条南北走向的公路连接着
两村庄，山洞位于
村庄南偏东
方向，且位于
村庄南偏东
方向。为方便两村庄的村民取水，准备从山洞处向公路
紧急修建一条最近的简易公路
，现已知两村庄相距6千米。
（1）求这条最近的简易公路的长（精确到0．1千米）？
（2）现由甲、乙两施工队共同合作修建这条公路，已知甲施工队修建2千米后，由乙施工队继续修建，乙施工队每天施工的速度是甲施工队每天施工速度的1．6倍，8天后，公路正式通车。求甲、乙两施工队每天修建公路多少千米？
（参考数据：
，
）
阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，在边长为
的正方形ABCD各边上分别截取AE＝BF＝CG＝DH＝1，当∠AFQ＝∠BGM＝∠CHN＝∠DEP＝45°时，求正方形MNPQ的面积．
小明发现：分别延长QE，MF， NG，PH，交FA，GB，HC，ED的延长线于点R，S，T，W，可得△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四个全等的等腰直角三角形（如图2）。请回答：
（1）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形（无缝隙，不重叠），则这个新的正方形的边长为__________；
（2）求正方形MNPQ的面积．
（3）参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图3，在等边△ABC各边上分别截取AD＝BE＝CF，再分别过点D，E，F作BC，AC，AB的垂线，得到等边△RPQ，若
，则AD的长为__________．
，山坡上E点处有一凉亭，测得假山坡脚C与建筑物水平距离BC=25米，与凉亭距离CE=20米，某人从建筑物顶端测得E点的俯角为45°，求建筑物AB的高．（注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）
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