初中数学解直角三角形解答题

如图，在平面直角坐标系中，直线 $y=-\frac{1}{2}x+2$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ ，抛物线 $y=-\frac{2}{3}{x}^2+\mathit{bx}+c$ 过点 $B$ 且与直线相交于另一点 $C(\frac{5}{2}$ ， $\frac{3}{4})$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 $P$ 是抛物线上的一动点，当 $\angle \mathit{PAO}=\angle \mathit{BAO}$ 时，求点 $P$ 的坐标；

（3）点 $N(n$ ， $0\left)\right(0<n<\frac{5}{2})$ 在 $x$ 轴的正半轴上，点 $M(0,m)$ 是 $y$ 轴正半轴上的一动点，且满足 $\angle \mathit{MNC}=90°$ ．

①求 $m$ 与 $n$ 之间的函数关系式；

②当 $m$ 在什么范围时，符合条件的 $N$ 点的个数有2个？

如图1，在平面直角坐标系中， $A(-2,-1)$ ， $B(3,-1)$ ，以 $O$ 为圆心， $\mathit{OA}$ 的长为半径的半圆 $O$ 交 $\mathit{AO}$ 延长线于 $C$ ，连接 $\mathit{AB}$ ， $\mathit{BC}$ ，过 $O$ 作 $\mathit{ED}//\mathit{BC}$ 分别交 $\mathit{AB}$ 和半圆 $O$ 于 $E$ ， $D$ ，连接 $\mathit{OB}$ ， $\mathit{CD}$ ．

（1）求证： $\mathit{BC}$ 是半圆 $O$ 的切线；

（2）试判断四边形 $\mathit{OBCD}$ 的形状，并说明理由；

（3）如图2，若抛物线经过点 $D$ 且顶点为 $E$ ．

①求此抛物线的解析式；

②点 $P$ 是此抛物线对称轴上的一个动点，以 $E$ ， $D$ ， $P$ 为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta OAB}$ 相似，问抛物线上是否存在一点 $Q$ ．使 $S_{\mathit{\Delta EPQ}}=S_{\mathit{\Delta OAB}}$ ？若存在，请直接写出 $Q$ 点的横坐标；若不存在，说明理由．

在平面直角坐标系中，抛物线 $y=-x^2+\mathit{kx}-2k$ 的顶点为 $N$ ．

（1）若此抛物线过点 $A(-3,1)$ ，求抛物线的解析式；

（2）在（1）的条件下，若抛物线与 $y$ 轴交于点 $B$ ，连接 $\mathit{AB}$ ， $C$ 为抛物线上一点，且位于线段 $\mathit{AB}$ 的上方，过 $C$ 作 $\mathit{CD}$ 垂直 $x$ 轴于点 $D$ ， $\mathit{CD}$ 交 $\mathit{AB}$ 于点 $E$ ，若 $\mathit{CE}=\mathit{ED}$ ，求点 $C$ 坐标；

（3）已知点 $M(2-\frac{4\sqrt{3}}{3}$ ， $0)$ ，且无论 $k$ 取何值，抛物线都经过定点 $H$ ，当 $\angle \mathit{MHN}=60°$ 时，求抛物线的解析式．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\frac{9}{4}x+c$ 经过点 $A(-1,0)$ 和点 $C(0,3)$ 与 $x$ 轴的另一交点为点 $B$ ，点 $M$ 是直线 $\mathit{BC}$ 上一动点，过点 $M$ 作 $\mathit{MP}//y$ 轴，交抛物线于点 $P$ ．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）在抛物线上是否存在一点 $Q$ ，使得 $\mathit{\Delta QCO}$ 是等边三角形？若存在，求出点 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）以 $M$ 为圆心， $\mathit{MP}$ 为半径作 $\odot M$ ，当 $\odot M$ 与坐标轴相切时，求出 $\odot M$ 的半径．

如图1，抛物线与抛物线相交轴于点，抛物线与轴交于、两点（点在点的右侧），直线交轴负半轴于点，交轴于点，且．

（1）求抛物线的解析式与的值；

（2）抛物线的对称轴交轴于点，连接，在轴上方的对称轴上找一点，使以点，，为顶点的三角形与相似，求出的长；

（3）如图2，过抛物线上的动点作轴于点，交直线于点，若点是点关于直线的对称点，是否存在点（不与点重合），使点落在轴上？若存在，请直接写出点的横坐标，若不存在，请说明理由．

如图，在直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，点，对称轴为的抛物线过，两点，且交轴于另一点，连接．

（1）直接写出点，点，点的坐标和抛物线的解析式；

（2）已知点为第一象限内抛物线上一点，当点到直线的距离最大时，求点的坐标；

（3）抛物线上是否存在一点（点除外），使以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线的图象经过点，顶点的坐标为，与轴交于、两点．

（1）求抛物线的解析式．

（2）连接，为直线上一点，当时，求点的坐标和的值．

（3）点是轴上一动点，当为何值时，的值最小．并求出这个最小值．

（4）点关于轴的对称点为，当取最小值时，在抛物线的对称轴上是否存在点，使是直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

如图一，在射线的一侧以为一条边作矩形，，，点是线段上一动点（不与点重合），连结，过点作的垂线交射线于点，连接．

（1）求的大小；

（2）问题探究：动点在运动的过程中，

①是否能使为等腰三角形，如果能，求出线段的长度；如果不能，请说明理由．

②的大小是否改变？若不改变，请求出的大小；若改变，请说明理由．

（3）问题解决：

如图二，当动点运动到的中点时，与的交点为，的中点为，求线段的长度．

已知抛物线与轴分别交于，两点，与轴交于点．

（1）求抛物线的表达式及顶点的坐标；

（2）点是线段上一个动点．

①如图1，设，当为何值时，？

②如图2，以，，为顶点的三角形是否与相似？若相似，求出点的坐标；若不相似，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，点，的中线与轴交于点，且经过，，三点．

（1）求圆心的坐标；

（2）若直线与相切于点，交轴于点，求直线的函数表达式；

（3）在（2）的条件下，在过点且以圆心为顶点的抛物线上有一动点，过点作轴，交直线于点．若以为半径的与直线相交于另一点．当时，求点的坐标．

已知：如图，在四边形中，，，，，垂直平分 ．点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点作，交于点，过点作，分别交，于点，．连接，．设运动时间为，解答下列问题：

（1）当为何值时，点在的平分线上？

（2）设四边形的面积为，求与的函数关系式；

（3）在运动过程中，是否存在某一时刻，使四边形的面积最大？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；

（4）连接，，在运动过程中，是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

如图1，抛物线经过点、两点，是其顶点，将抛物线绕点旋转，得到新的抛物线．

（1）求抛物线的函数解析式及顶点的坐标；

（2）如图2，直线经过点，是抛物线上的一点，设点的横坐标为，连接并延长，交抛物线于点，交直线于点，若，求的值；

（3）如图3，在（2）的条件下，连接、，在直线下方的抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线经过，，三点．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）如图1，为抛物线上在第二象限内的一点，若面积为3，求点的坐标；

（3）如图2，为抛物线的顶点，在线段上是否存在点，使得以，，为顶点的三角形与相似？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点的坐标是，为抛物线上的一个动点，过点作轴于点，交直线于点，抛物线的对称轴是直线．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）若点在第二象限内，且，求的面积．

（3）在（2）的条件下，若为直线上一点，在轴的上方，是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线与轴交于，，，两点，与轴交于点，且．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若，，，是抛物线上的两点，当，时，均有，求的取值范围；

（3）抛物线上一点，直线与轴交于点，动点在线段上，当时，求点的坐标．