初中数学解直角三角形解答题

如图， $\mathit{AB}$、 $\mathit{AC}$分别是 $\odot O$的直径和弦， $\mathit{OD}\perp \mathit{AC}$于点 $D$．过点 $A$作 $\odot O$的切线与 $\mathit{OD}$的延长线交于点 $P$， $\mathit{PC}$、 $\mathit{AB}$的延长线交于点 $F$．

（1）求证： $\mathit{PC}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\angle \mathit{ABC}=60°$， $\mathit{AB}=10$，求线段 $\mathit{CF}$的长．

如图，小明从P处出发，沿北偏东60°方向行驶200米到达A处，接着向正南方向行驶一段时间到达B处．在B处观测到出发时所在的P处在北偏西37°方向上，这时P、B两点相距多少米？（精确到1米，参考数据：sin37°≈0．60，cos37°≈0．80，tan37°≈0．75，≈1．41，≈1．73）

如图， $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{BAC}=120°$， $\mathit{AB}=\mathit{AC}=6$． $P$是底边 $\mathit{BC}$上的一个动点 $(P$与 $B$、 $C$不重合），以 $P$为圆心， $\mathit{PB}$为半径的 $\odot P$与射线 $\mathit{BA}$交于点 $D$，射线 $\mathit{PD}$交射线 $\mathit{CA}$于点 $E$．

（1）若点 $E$在线段 $\mathit{CA}$的延长线上，设 $\mathit{BP}=x$， $\mathit{AE}=y$，求 $y$关于 $x$的函数关系式，并写出 $x$的取值范围．

（2）当 $\mathit{BP}=2\sqrt{3}$时，试说明射线 $\mathit{CA}$与 $\odot P$是否相切．

（3）连接 $\mathit{PA}$，若 $S_{\mathit{\Delta APE}}=\frac{1}{8}{S}_{\mathit{\Delta ABC}}$，求 $\mathit{BP}$的长．

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，tan A＝，AD＝20．求BC的长．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$内接于 $\odot O$，点 $D$在 $\odot O$外， $\angle \mathit{ADC}=90°$， $\mathit{BD}$交 $\odot O$于点 $E$，交 $\mathit{AC}$于点 $F$， $\angle \mathit{EAC}=\angle \mathit{DCE}$， $\angle \mathit{CEB}=\angle \mathit{DCA}$， $\mathit{CD}=6$， $\mathit{AD}=8$．

（1）求证： $\mathit{AB}//\mathit{CD}$；

（2）求证： $\mathit{CD}$是 $\odot O$的切线；

（3）求 $\tan \angle \mathit{ACB}$的值．

如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C=45°，sinB=，AD=1．

（1）求BC的长；
（2）求tan∠DAE的值．

（2） $\because \tan \angle \mathit{ACB}=\frac{\mathit{AB}}{\mathit{BC}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$， $\mathit{BC}=2$，

$\therefore \mathit{AB}=\mathit{BC}·\tan \angle \mathit{ACB}=\sqrt{2}$，

$\therefore \mathit{AC}=\sqrt{6}$；

又 $\because \angle \mathit{ACB}=\angle \mathit{DCE}$，

$\therefore \tan \angle \mathit{DCE}=\tan \angle \mathit{ACB}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，

$\therefore \mathit{DE}=\mathit{DC}·\tan \angle \mathit{DCE}=1$；

方法一：在 $\text{Rt}\Delta \text{CDE}$中， $\mathit{CE}=\sqrt{C{D}^2+D{E}^2}=\sqrt{3}$，

连接 $\mathit{OE}$，设 $\odot O$的半径为 $r$，则在 $\text{Rt}\Delta \text{COE}$中， $C{O}^2=O{E}^2+C{E}^2$，即 ${(\sqrt{6}-r)}^2=r^2+3$

解得： $r=\frac{\sqrt{6}}{4}$

方法二： $\mathit{AE}=\mathit{AD}-\mathit{DE}=1$，过点 $O$作 $\mathit{OM}\perp \mathit{AE}$于点 $M$，则 $\mathit{AM}=\frac{1}{2}\mathit{AE}=\frac{1}{2}$

在 $\text{Rt}\Delta \text{AMO}$中， $\mathit{OA}=\frac{\mathit{AM}}{\cos \angle \mathit{EAO}}=\frac{1}{2}÷\frac{2}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{4}$

本题考查了圆的综合题：圆的切线垂直于过切点的半径；利用勾股定理计算线段的长．

如图，在 $▱\mathit{ABCD}$ 中， $E$ ， $F$ 是对角线 $\mathit{BD}$ 上的两点（点 $E$ 在点 $F$ 左侧），且 $\angle \mathit{AEB}=\angle \mathit{CFD}=90°$ ．

（1）求证：四边形 $\mathit{AECF}$ 是平行四边形；

（2）当 $\mathit{AB}=5$ ， $\tan \angle \mathit{ABE}=\frac{3}{4}$ ， $\angle \mathit{CBE}=\angle \mathit{EAF}$ 时，求 $\mathit{BD}$ 的长．

如图，已知 $\mathit{AB}$ 是 $\odot O$ 的直径， $\angle \mathit{ACD}$ 是 $\widehat{\mathit{AD}}$ 所对的圆周角， $\angle \mathit{ACD}=30°$ ．

（1）求 $\angle \mathit{DAB}$ 的度数；

（2）过点 $D$ 作 $\mathit{DE}\perp \mathit{AB}$ ，垂足为 $E$ ， $\mathit{DE}$ 的延长线交 $\odot O$ 于点 $F$ ．若 $\mathit{AB}=4$ ，求 $\mathit{DF}$ 的长．

如图，已知点 $C$ 是以 $\mathit{AB}$ 为直径的半圆上一点， $D$ 是 $\mathit{AB}$ 延长线上一点，过点 $D$ 作 $\mathit{BD}$ 的垂线交 $\mathit{AC}$ 的延长线于点 $E$ ，连结 $\mathit{CD}$ ，且 $\mathit{CD}=\mathit{ED}$ ．

（1）求证： $\mathit{CD}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）若 $\tan \angle \mathit{DCE}=2$ ， $\mathit{BD}=1$ ，求 $\odot O$ 的半径．

数学小组研究如下问题：长春市的纬度约为北纬 $44°$ ，求北纬 $44°$ 纬线的长度，小组成员查阅了相关资料，得到三条信息：

（1）在地球仪上，与南，北极距离相等的大圆圈，叫赤道，所有与赤道平行的圆圈叫纬线；

（2）如图， $\odot O$ 是经过南、北极的圆，地球半径 $\mathit{OA}$ 约为 $6400\mathit{km}$ ．弦 $\mathit{BC}//\mathit{OA}$ ，过点 $O$ 作 $\mathit{OK}\perp \mathit{BC}$ 于点 $K$ ，连接 $\mathit{OB}$ ．若 $\angle \mathit{AOB}=44°$ ，则以 $\mathit{BK}$ 为半径的圆的周长是北纬 $44°$ 纬线的长度；

（3）参考数据： $\pi$ 取3， $\sin 44°=0.69$ ， $\cos 44°=0.72$ ．

小组成员给出了如下解答，请你补充完整：

解：因为 $\mathit{BC}//\mathit{OA}$ ， $\angle \mathit{AOB}=44°$ ，

所以 $\angle B=\angle \mathit{AOB}=44°($ 　　 $)$ （填推理依据），

因为 $\mathit{OK}\perp \mathit{BC}$ ，所以 $\angle \mathit{BKO}=90°$ ，

在 $\text{Rt}\Delta \text{BOK}$ 中， $\mathit{OB}=\mathit{OA}=6400$ ．

$\mathit{BK}=\mathit{OB}\times$ 　　（填" $\sin B$ "或" $\cos B$ " $)$ ．

所以北纬 $44°$ 的纬线长 $C=2\pi \cdot \mathit{BK}$ ．

$=2\times 3\times 6400\times$ 　　（填相应的三角形函数值）

$\approx$ 　　 $\left(\mathit{km}\right)$ （结果取整数）．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\mathit{AC}=m$， $\mathit{BC}=n$， $m>n$，点 $P$是边 $\mathit{AB}$上一点，连接 $\mathit{CP}$，将 $\mathit{\Delta ACP}$沿 $\mathit{CP}$翻折得到 $\mathit{\Delta QCP}$．

（1）若 $m=4$， $n=3$，且 $\mathit{PQ}\perp \mathit{AB}$，求 $\mathit{BP}$的长；

（2）连接 $\mathit{BQ}$，若四边形 $\mathit{BCPQ}$是平行四边形，求 $m$与 $n$之间的关系式．

如图1，在平面直角坐标系中，直线 $\mathit{MN}$分别与 $x$轴、 $y$轴交于点 $M(6,0)$， $N(0$， $2\sqrt{3})$，等边 $\mathit{\Delta ABC}$的顶点 $B$与原点 $O$重合， $\mathit{BC}$边落在 $x$轴正半轴上，点 $A$恰好落在线段 $\mathit{MN}$上，将等边 $\mathit{\Delta ABC}$从图1的位置沿 $x$轴正方向以每秒1个单位长度的速度平移，边 $\mathit{AB}$， $\mathit{AC}$分别与线段 $\mathit{MN}$交于点 $E$， $F$（如图2所示），设 $\mathit{\Delta ABC}$平移的时间为 $t\left(s\right)$．

（1）等边 $\mathit{\Delta ABC}$的边长为　　；

（2）在运动过程中，当 $t=$　　时， $\mathit{MN}$垂直平分 $\mathit{AB}$；

（3）若在 $\mathit{\Delta ABC}$开始平移的同时．点 $P$从 $\mathit{\Delta ABC}$的顶点 $B$出发．以每秒2个单位长度的速度沿折线 $\mathit{BA}-\mathit{AC}$运动．当点 $P$运动到 $C$时即停止运动． $\mathit{\Delta ABC}$也随之停止平移．

①当点 $P$在线段 $\mathit{BA}$上运动时，若 $\mathit{\Delta PEF}$与 $\mathit{\Delta MNO}$相似．求 $t$的值；

②当点 $P$在线段 $\mathit{AC}$上运动时，设 $S_{\mathit{\Delta PEF}}=S$，求 $S$与 $t$的函数关系式，并求出 $S$的最大值及此时点 $P$的坐标．

在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{BC}$，点 $O$是 $\mathit{AC}$的中点，点 $P$是 $\mathit{AC}$上的一个动点（点 $P$不与点 $A$， $O$， $C$重合）．过点 $A$，点 $C$作直线 $\mathit{BP}$的垂线，垂足分别为点 $E$和点 $F$，连接 $\mathit{OE}$， $\mathit{OF}$．

（1）如图1，请直接写出线段 $\mathit{OE}$与 $\mathit{OF}$的数量关系；

（2）如图2，当 $\angle \mathit{ABC}=90°$时，请判断线段 $\mathit{OE}$与 $\mathit{OF}$之间的数量关系和位置关系，并说明理由

（3）若 $|\mathit{CF}-\mathit{AE}|=2$， $\mathit{EF}=2\sqrt{3}$，当 $\mathit{\Delta POF}$为等腰三角形时，请直接写出线段 $\mathit{OP}$的长．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-5(a\ne 0)$ 经过点 $A(4,-5)$ ，与 $x$ 轴的负半轴交于点 $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，且 $\mathit{OC}=5\mathit{OB}$ ，抛物线的顶点为点 $D$ ．

（1）求这条抛物线的表达式；

（2）联结 $\mathit{AB}$ 、 $\mathit{BC}$ 、 $\mathit{CD}$ 、 $\mathit{DA}$ ，求四边形 $\mathit{ABCD}$ 的面积；

（3）如果点 $E$ 在 $y$ 轴的正半轴上，且 $\angle \mathit{BEO}=\angle \mathit{ABC}$ ，求点 $E$ 的坐标．