初中数学解直角三角形试题

四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{BD}$是对角线， $\angle \mathit{ABC}=90°$， $\tan \angle \mathit{ABD}=\frac{3}{4}$， $\mathit{AB}=20$， $\mathit{BC}=10$， $\mathit{AD}=13$，则线段 $\mathit{CD}=$　　．

将在同一平面内如图放置的两块三角板绕公共顶点 $A$旋转，连接 $\mathit{BC}$， $\mathit{DE}$．探究 $S_{\mathit{\Delta ABC}}$与 $S_{\mathit{\Delta ADE}}$的比是否为定值．

（1）两块三角板是完全相同的等腰直角三角板时， $S_{\mathit{\Delta ABC}}:S_{\mathit{\Delta ADE}}$是否为定值？如果是，求出此定值，如果不是，说明理由．（图① $)$

（2）一块是等腰直角三角板，另一块是含有 $30°$角的直角三角板时， $S_{\mathit{\Delta ABC}}:S_{\mathit{\Delta ADE}}$是否为定值？如果是，求出此定值，如果不是，说明理由．（图② $)$

（3）两块三角板中， $\angle \mathit{BAE}+\angle \mathit{CAD}=180°$， $\mathit{AB}=a$， $\mathit{AE}=b$， $\mathit{AC}=m$， $\mathit{AD}=n(a$， $b$， $m$， $n$为常数）， $S_{\mathit{\Delta ABC}}:S_{\mathit{\Delta ADE}}$是否为定值？如果是，用含 $a$， $b$， $m$， $n$的式子表示此定值（直接写出结论，不写推理过程），如果不是，说明理由．（图③ $)$

三角板是我们学习数学的好帮手．将一对直角三角板如图放置，点 $C$在 $\mathit{FD}$的延长线上，点 $B$在 $\mathit{ED}$上， $\mathit{AB}//\mathit{CF}$， $\angle F=\angle \mathit{ACB}=90°$， $\angle E=45°$， $\angle A=60°$， $\mathit{AC}=10$，则 $\mathit{CD}$的长度是　　．

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$是平行四边形，延长 $\mathit{AD}$至点 $E$，使 $\mathit{DE}=\mathit{AD}$，连接 $\mathit{BD}$．

（1）求证：四边形 $\mathit{BCED}$是平行四边形；

（2）若 $\mathit{DA}=\mathit{DB}=2$， $\cos A=\frac{1}{4}$，求点 $B$到点 $E$的距离．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，以 $\mathit{AB}$为直径的 $\odot O$与边 $\mathit{BC}$， $\mathit{AC}$分别交于 $D$， $E$两点，过点 $D$作 $\mathit{DH}\perp \mathit{AC}$于点 $H$．

（1）判断 $\mathit{DH}$与 $\odot O$的位置关系，并说明理由；

（2）求证： $H$为 $\mathit{CE}$的中点；

（3）若 $\mathit{BC}=10$， $\cos C=\frac{\sqrt{5}}{5}$，求 $\mathit{AE}$的长．

如图，在菱形 $\mathit{ABCD}$中，按以下步骤作图：

①分别以点 $C$和点 $D$为圆心，大于 $\frac{1}{2}\mathit{CD}$的长为半径作弧，两弧相交于 $M$、 $N$两点；

②作直线 $\mathit{MN}$，且 $\mathit{MN}$恰好经过点 $A$，与 $\mathit{CD}$交于点 $E$，连接 $\mathit{BE}$．

则下列说法错误的是 $($　　 $)$

A． $\angle \mathit{ABC}=60°$B． $S_{\mathit{\Delta ABE}}=2S_{\mathit{\Delta ADE}}$

C．若 $\mathit{AB}=4$，则 $\mathit{BE}=4\sqrt{7}$D． $\sin \angle \mathit{CBE}=\frac{\sqrt{21}}{14}$

如图， $\mathit{\Delta ABC}$为 $\odot O$的内接三角形， $\mathit{AB}$为 $\odot O$的直径，过点 $A$作 $\odot O$的切线交 $\mathit{BC}$的延长线于点 $D$．

（1）求证： $\mathit{\Delta DAC}\backsim \mathit{\Delta DBA}$；

（2）过点 $C$作 $\odot O$的切线 $\mathit{CE}$交 $\mathit{AD}$于点 $E$，求证： $\mathit{CE}=\frac{1}{2}\mathit{AD}$；

（3）若点 $F$为直径 $\mathit{AB}$下方半圆的中点，连接 $\mathit{CF}$交 $\mathit{AB}$于点 $G$，且 $\mathit{AD}=6$， $\mathit{AB}=3$，求 $\mathit{CG}$的长．

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径，且经过弦 $\mathit{CD}$的中点 $H$，已知 $\sin \angle \mathit{CDB}=\frac{3}{5}$， $\mathit{BD}=5$，则 $\mathit{AH}$的长为 $($　　 $)$

A． $\frac{25}{3}$B． $\frac{16}{3}$C． $\frac{25}{6}$D． $\frac{16}{6}$

如图，矩形 $\mathit{OABC}$的边 $\mathit{AB}$与 $x$轴交于点 $D$，与反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k>0)$在第一象限的图象交于点 $E$， $\angle \mathit{AOD}=30°$，点 $E$的纵坐标为1， $\mathit{\Delta ODE}$的面积是 $\frac{4\sqrt{3}}{3}$，则 $k$的值是　　．

如图，已知 $\odot O$是 $\mathit{\Delta ABC}$的外接圆，且 $\mathit{AB}=\mathit{BC}=\mathit{CD}$， $\mathit{AB}//\mathit{CD}$，连接 $\mathit{BD}$．

（1）求证： $\mathit{BD}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{AB}=10$， $\cos \angle \mathit{BAC}=\frac{3}{5}$，求 $\mathit{BD}$的长及 $\odot O$的半径．

如图，直线 $l$为 $y=\sqrt{3}x$，过点 $A_1(1,0)$作 $A_1{B}_1\perp x$轴，与直线 $l$交于点 $B_1$，以原点 $O$为圆心， $O{B}_1$长为半径画圆弧交 $x$轴于点 $A_2$；再作 $A_2{B}_2\perp x$轴，交直线 $l$于点 $B_2$，以原点 $O$为圆心， $O{B}_2$长为半径画圆弧交 $x$轴于点 $A_3$； $\dots \dots$，按此作法进行下去，则点 $A_n$的坐标为 $($　　 $)$．

如图，矩形纸片 $\mathit{ABCD}$， $\mathit{AB}=4$， $\mathit{BC}=3$，点 $P$在 $\mathit{BC}$边上，将 $\mathit{\Delta CDP}$沿 $\mathit{DP}$折叠，点 $C$落在点 $E$处， $\mathit{PE}$、 $\mathit{DE}$分别交 $\mathit{AB}$于点 $O$、 $F$，且 $\mathit{OP}=\mathit{OF}$，则 $\cos \angle \mathit{ADF}$的值为 $($　　 $)$

A． $\frac{11}{13}$B． $\frac{13}{15}$C． $\frac{15}{17}$D． $\frac{17}{19}$

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{ABC}=90°$，以 $\mathit{AB}$为直径作 $\odot O$交 $\mathit{AC}$于点 $D$，点 $E$在 $\mathit{BC}$边上，且满足 $\mathit{EB}=\mathit{ED}$．

（1）求证： $\mathit{DE}$是 $\odot O$的切线；

（2）连接 $\mathit{AE}$，若 $\angle C=45°$， $\mathit{AB}=10\sqrt{2}$，求 $\sin \angle \mathit{CAE}$的值．

如图， $\mathit{AB}$为 $\odot O$的直径，直线 $\mathit{CD}$切 $\odot O$于点 $M$， $\mathit{BE}\perp \mathit{CD}$于点 $E$．

（1）求证： $\angle \mathit{BME}=\angle \mathit{MAB}$；

（2）求证： $B{M}^2=\mathit{BE}·\mathit{AB}$；

（3）若 $\mathit{BE}=\frac{18}{5}$， $\sin \angle \mathit{BAM}=\frac{3}{5}$，求线段 $\mathit{AM}$的长．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle B=90°$， $\tan \angle C=\frac{3}{4}$， $\mathit{AB}=6\mathit{cm}$．动点 $P$从点 $A$开始沿边 $\mathit{AB}$向点 $B$以 $1\mathit{cm}/s$的速度移动，动点 $Q$从点 $B$开始沿边 $\mathit{BC}$向点 $C$以 $2\mathit{cm}/s$的速度移动．若 $P$， $Q$两点分别从 $A$， $B$两点同时出发，在运动过程中， $\mathit{\Delta PBQ}$的最大面积是 $($　　 $)$

A． $18c{m}^2$B． $12c{m}^2$C． $9c{m}^2$D． $3c{m}^2$