初中数学相似三角形的判定与性质解答题

如图，以 $\mathit{AB}$ 为直径的 $\odot O$ 经过 $\mathit{\Delta ABC}$ 的顶点 $C$ ，过点 $O$ 作 $\mathit{OD}//\mathit{BC}$ 交 $\odot O$ 于点 $D$ ，交 $\mathit{AC}$ 于点 $F$ ，连接 $\mathit{BD}$ 交 $\mathit{AC}$ 于点 $G$ ，连接 $\mathit{CD}$ ，在 $\mathit{OD}$ 的延长线上取一点 $E$ ，连接 $\mathit{CE}$ ，使 $\angle \mathit{DEC}=\angle \mathit{BDC}$ ．

（1）求证： $\mathit{EC}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）若 $\odot O$ 的半径是3， $\mathit{DG}·\mathit{DB}=9$ ，求 $\mathit{CE}$ 的长．

在矩形 $\mathit{ABCD}$ 中，点 $E$ 是射线 $\mathit{BC}$ 上一动点，连接 $\mathit{AE}$ ，过点 $B$ 作 $\mathit{BF}\perp \mathit{AE}$ 于点 $G$ ，交直线 $\mathit{CD}$ 于点 $F$ ．

（1）当矩形 $\mathit{ABCD}$ 是正方形时，以点 $F$ 为直角顶点在正方形 $\mathit{ABCD}$ 的外部作等腰直角三角形 $\mathit{CFH}$ ，连接 $\mathit{EH}$ ．

①如图1，若点 $E$ 在线段 $\mathit{BC}$ 上，则线段 $\mathit{AE}$ 与 $\mathit{EH}$ 之间的数量关系是 　 　，位置关系是 　　；

②如图2，若点 $E$ 在线段 $\mathit{BC}$ 的延长线上，①中的结论还成立吗？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由；

（2）如图3，若点 $E$ 在线段 $\mathit{BC}$ 上，以 $\mathit{BE}$ 和 $\mathit{BF}$ 为邻边作平行四边形 $\mathit{BEHF}$ ， $M$ 是 $\mathit{BH}$ 中点，连接 $\mathit{GM}$ ， $\mathit{AB}=3$ ， $\mathit{BC}=2$ ，求 $\mathit{GM}$ 的最小值．

如图1，已知点 $O$ 在四边形 $\mathit{ABCD}$ 的边 $\mathit{AB}$ 上，且 $\mathit{OA}=\mathit{OB}=\mathit{OC}=\mathit{OD}=2$ ， $\mathit{OC}$ 平分 $\angle \mathit{BOD}$ ，与 $\mathit{BD}$ 交于点 $G$ ， $\mathit{AC}$ 分别与 $\mathit{BD}$ 、 $\mathit{OD}$ 交于点 $E$ 、 $F$ ．

（1）求证： $\mathit{OC}//\mathit{AD}$ ；

（2）如图2，若 $\mathit{DE}=\mathit{DF}$ ，求 $\frac{\mathit{AE}}{\mathit{AF}}$ 的值；

（3）当四边形 $\mathit{ABCD}$ 的周长取最大值时，求 $\frac{\mathit{DE}}{\mathit{DF}}$ 的值．

【感知】如图①，在四边形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\angle C=\angle D=90°$ ，点 $E$ 在边 $\mathit{CD}$ 上， $\angle \mathit{AEB}=90°$ ，求证： $\frac{\mathit{AE}}{\mathit{EB}}=\frac{\mathit{DE}}{\mathit{CB}}$ ．

【探究】如图②，在四边形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\angle C=\angle \mathit{ADC}=90°$ ，点 $E$ 在边 $\mathit{CD}$ 上，点 $F$ 在边 $\mathit{AD}$ 的延长线上， $\angle \mathit{FEG}=\angle \mathit{AEB}=90°$ ，且 $\frac{\mathit{EF}}{\mathit{EG}}=\frac{\mathit{AE}}{\mathit{EB}}$ ，连接 $\mathit{BG}$ 交 $\mathit{CD}$ 于点 $H$ ．

求证： $\mathit{BH}=\mathit{GH}$ ．

【拓展】如图③，点 $E$ 在四边形 $\mathit{ABCD}$ 内， $\angle \mathit{AEB}$ 十 $\angle \mathit{DEC}=180°$ ，且 $\frac{\mathit{AE}}{\mathit{EB}}=\frac{\mathit{DE}}{\mathit{EC}}$ ，过 $E$ 作 $\mathit{EF}$ 交 $\mathit{AD}$ 于点 $F$ ，若 $\angle \mathit{EFA}=\angle \mathit{AEB}$ ，延长 $\mathit{FE}$ 交 $\mathit{BC}$ 于点 $G$ ．求证： $\mathit{BG}=\mathit{CG}$ ．

如图， $\mathit{DB}$ 过 $\odot O$ 的圆心，交 $\odot O$ 于点 $A$ 、 $B$ ， $\mathit{DC}$ 是 $\odot O$ 的切线，点 $C$ 是切点，已知 $\angle D=30°$ ， $\mathit{DC}=\sqrt{3}$ ．

（1）求证： $\mathit{\Delta BOC}\backsim \mathit{\Delta BCD}$ ；

（2）求 $\mathit{\Delta BCD}$ 的周长．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$ 中， $E$ 是 $\mathit{BC}$ 的中点， $\mathit{DF}\perp \mathit{AE}$ ，垂足为 $F$ ．

（1）求证： $\mathit{\Delta ABE}\backsim \mathit{\Delta DFA}$ ；

（2）若 $\mathit{AB}=6$ ， $\mathit{BC}=4$ ，求 $\mathit{DF}$ 的长．

矩形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AB}=8$ ， $\mathit{AD}=12$ ．将矩形折叠，使点 $A$ 落在点 $P$ 处，折痕为 $\mathit{DE}$ ．

（1）如图①，若点 $P$ 恰好在边 $\mathit{BC}$ 上，连接 $\mathit{AP}$ ，求 $\frac{\mathit{AP}}{\mathit{DE}}$ 的值；

（2）如图②，若 $E$ 是 $\mathit{AB}$ 的中点， $\mathit{EP}$ 的延长线交 $\mathit{BC}$ 于点 $F$ ，求 $\mathit{BF}$ 的长．

如图，在和△中，、分别是、上一点，．

（1）当时，求证△．

证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格．

（2）当时，判断与△是否相似，并说明理由．

在平面直角坐标系中，把与轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线的顶点为，交轴于点、（点在点左侧），交轴于点．抛物线与是“共根抛物线”，其顶点为．

（1）若抛物线经过点，求对应的函数表达式；

（2）当的值最大时，求点的坐标；

（3）设点是抛物线上的一个动点，且位于其对称轴的右侧．若与相似，求其“共根抛物线” 的顶点的坐标．

初步尝试

（1）如图①，在三角形纸片中，，将折叠，使点与点重合，折痕为，则与的数量关系为　   　；

思考说理

（2）如图②，在三角形纸片中，，，将折叠，使点与点重合，折痕为，求的值；

拓展延伸

（3）如图③，在三角形纸片中，，，，将沿过顶点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕为．

①求线段的长；

②若点是边的中点，点为线段上的一个动点，将沿折叠得到△，点的对应点为点，与交于点，求的取值范围．

如图所示，二次函数的图象（记为抛物线与轴交于点，与轴分别交于点、，点、的横坐标分别记为，，且．

（1）若，，且过点，求该二次函数的表达式；

（2）若关于的一元二次方程的判别式△．求证：当时，二次函数的图象与轴没有交点．

（3）若，点的坐标为，，过点作直线垂直于轴，且抛物线的的顶点在直线上，连接、、，的延长线与抛物线交于点，若，求的最小值．

是的直径，点是上一点，连接、，直线过点，满足．

（1）如图①，求证：直线是的切线；

（2）如图②，点在线段上，过点作于点，直线交于点、，连接并延长交直线于点，连接，且，若的半径为1，，求的值．

如图，半径为4的中，弦的长度为，点是劣弧上的一个动点，点是弦的中点，点是弦的中点，连接、、．

（1）求的度数；

（2）当点沿着劣弧从点开始，逆时针运动到点时，求的外心所经过的路径的长度；

（3）分别记，的面积为，，当时，求弦的长度．

在矩形中，为边上一点，把沿翻折，使点恰好落在边上的点．

（1）求证：；

（2）若，，求的长；

（3）若，记，，求的值．

如图1，在矩形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AB}=6$ ， $\mathit{BC}=8$ ，动点 $P$ ， $Q$ 分别从 $C$ 点， $A$ 点同时以每秒1个单位长度的速度出发，且分别在边 $\mathit{CA}$ ， $\mathit{AB}$ 上沿 $C\to A$ ， $A\to B$ 的方向运动，当点 $Q$ 运动到点 $B$ 时， $P$ ， $Q$ 两点同时停止运动．设点 $P$ 运动的时间为 $t\left(s\right)$ ，连接 $\mathit{PQ}$ ，过点 $P$ 作 $\mathit{PE}\perp \mathit{PQ}$ ， $\mathit{PE}$ 与边 $\mathit{BC}$ 相交于点 $E$ ，连接 $\mathit{QE}$ ．

（1）如图2，当 $t=5s$ 时，延长 $\mathit{EP}$ 交边 $\mathit{AD}$ 于点 $F$ ．求证： $\mathit{AF}=\mathit{CE}$ ；

（2）在（1）的条件下，试探究线段 $\mathit{AQ}$ ， $\mathit{QE}$ ， $\mathit{CE}$ 三者之间的等量关系，并加以证明；

（3）如图3，当 $t>\frac{9}{4}s$ 时，延长 $\mathit{EP}$ 交边 $\mathit{AD}$ 于点 $F$ ，连接 $\mathit{FQ}$ ，若 $\mathit{FQ}$ 平分 $\angle \mathit{AFP}$ ，求 $\frac{\mathit{AF}}{\mathit{CE}}$ 的值．