初中数学相似三角形的判定与性质解答题

如图，已知⊙ O的半径为2， AB为直径， CD为弦． AB与 CD交于点 M，将 $\stackrel{̂}{\mathit{CD}}$ 沿 CD翻折后，点 A与圆心 O重合，延长 OA至 P，使 AP＝ OA，连接 PC

（1）求 CD的长；

（2）求证： PC是⊙ O的切线；

（3）点 G为 $\stackrel{̂}{\mathit{ADB}}$ 的中点，在 PC延长线上有一动点 Q，连接 QG交 AB于点 E．交 $\stackrel{̂}{\mathit{BC}}$ 于点 F（ F与 B、 C不重合）．问 GE• GF是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系 xOy中，直线 y＝﹣ x+3与 x轴交于点 C，与直线 AD交于点 $A\left(\frac{4}{3},\frac{5}{3}\right)$ ，点 D的坐标为（0，1）

（1）求直线 AD的解析式；

（2）直线 AD与 x轴交于点 B，若点 E是直线 AD上一动点（不与点 B重合），当△ BOD与△ BCE相似时，求点 E的坐标．

如图，抛物线 $y=-\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{bx}+c$ 与 $x$ 轴交于点 $A(-1,0)$ 和点 $B(4,0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，连接 $\mathit{BC}$ ，点 $P$ 是线段 $\mathit{BC}$ 上的动点（与点 $B$ ， $C$ 不重合），连接 $\mathit{AP}$ 并延长 $\mathit{AP}$ 交抛物线于点 $Q$ ，连接 $\mathit{CQ}$ ， $\mathit{BQ}$ ，设点 $Q$ 的横坐标为 $m$ ．

（1）求抛物线的解析式和点 $C$ 的坐标；

（2）当 $\mathit{\Delta BCQ}$ 的面积等于2时，求 $m$ 的值；

（3）在点 $P$ 运动过程中， $\frac{\mathit{PQ}}{\mathit{AP}}$ 是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．

如图， $\odot O$ 是 $\mathit{\Delta ABC}$ 的外接圆，直线 $\mathit{EG}$ 与 $\odot O$ 相切于点 $E$ ， $\mathit{EG}//\mathit{BC}$ ，连接 $\mathit{AE}$ 交 $\mathit{BC}$ 于点 $D$ ．

（1）求证： $\mathit{AE}$ 平分 $\angle \mathit{BAC}$ ；

（2）若 $\angle \mathit{ABC}$ 的平分线 $\mathit{BF}$ 交 $\mathit{AD}$ 于点 $F$ ，且 $\mathit{DE}=3$ ， $\mathit{DF}=2$ ，求 $\mathit{AF}$ 的长．

某同学在学习了正多边形和圆之后，对正五边形的边及相关线段进行研究，发现多处出现著名的黄金分割比 $\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx 0.618$ ．如图，圆内接正五边形 $\mathit{ABCDE}$ ，圆心为 $O$ ， $\mathit{OA}$ 与 $\mathit{BE}$ 交于点 $H$ ， $\mathit{AC}$ 、 $\mathit{AD}$ 与 $\mathit{BE}$ 分别交于点 $M$ 、 $N$ ．根据圆与正五边形的对称性，只对部分图形进行研究．（其它可同理得出）

（1）求证： $\mathit{\Delta ABM}$ 是等腰三角形且底角等于 $36°$ ，并直接说出 $\mathit{\Delta BAN}$ 的形状；

（2）求证： $\frac{\mathit{BM}}{\mathit{BN}}=\frac{\mathit{BN}}{\mathit{BE}}$ ，且其比值 $k=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ ；

（3）由对称性知 $\mathit{AO}\perp \mathit{BE}$ ，由（1）（2）可知 $\frac{\mathit{MN}}{\mathit{BM}}$ 也是一个黄金分割数，据此求 $\sin 18°$ 的值．

（1）【操作发现】

如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中， $\mathit{\Delta ABC}$ 的三个顶点均在格点上．

①请按要求画图：将 $\mathit{\Delta ABC}$ 绕点 $A$ 顺时针方向旋转 $90°$ ，点 $B$ 的对应点为点 $B\text{'}$ ，点 $C$ 的对应点为点 $C\text{'}$ ．连接 $\mathit{BB}\text{'}$ ；

②在①中所画图形中， $\angle \mathit{AB}\text{'}B=$ 　 　 $°$ ．

（2）【问题解决】

如图2，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 中， $\mathit{BC}=1$ ， $\angle C=90°$ ，延长 $\mathit{CA}$ 到 $D$ ，使 $\mathit{CD}=1$ ，将斜边 $\mathit{AB}$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $90°$ 到 $\mathit{AE}$ ，连接 $\mathit{DE}$ ，求 $\angle \mathit{ADE}$ 的度数．

（3）【拓展延伸】

如图3，在四边形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AE}\perp \mathit{BC}$ ，垂足为 $E$ ， $\angle \mathit{BAE}=\angle \mathit{ADC}$ ， $\mathit{BE}=\mathit{CE}=1$ ， $\mathit{CD}=3$ ， $\mathit{AD}=\mathit{kAB}(k$ 为常数），求 $\mathit{BD}$ 的长（用含 $k$ 的式子表示）．

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$ 中，点 $P$ 为对角线 $\mathit{AC}$ 所在直线上的一个动点，连接 $\mathit{PD}$ ，过点 $P$ 作 $\mathit{PE}\perp \mathit{PD}$ ，交直线 $\mathit{AB}$ 于点 $E$ ，过点 $P$ 作 $\mathit{MN}\perp \mathit{AB}$ ，交直线 $\mathit{CD}$ 于点 $M$ ，交直线 $\mathit{AB}$ 于点 $N$ ． $\mathit{AB}=4\sqrt{3}$ ， $\mathit{AD}=4$ ．

（1）如图1，①当点 $P$ 在线段 $\mathit{AC}$ 上时， $\angle \mathit{PDM}$ 和 $\angle \mathit{EPN}$ 的数量关系为： $\angle \mathit{PDM}$    $\angle \mathit{EPN}$ ；

② $\frac{\mathit{DP}}{\mathit{PE}}$ 的值是 　　；

（2）如图2，当点 $P$ 在 $\mathit{CA}$ 延长线上时，（1）中的结论②是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由；

（3）如图3，以线段 $\mathit{PD}$ ， $\mathit{PE}$ 为邻边作矩形 $\mathit{PEFD}$ ．设 $\mathit{PM}$ 的长为 $x$ ，矩形 $\mathit{PEFD}$ 的面积为 $y$ ．请直接写出 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式及 $y$ 的最小值．

如图，已知二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A(1,0)$ ， $B(4,0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，直线 $y=-\frac{1}{2}x+2$ 经过 $B$ ， $C$ 两点．

（1）直接写出二次函数的解析式 　 　；

（2）平移直线 $\mathit{BC}$ ，当直线 $\mathit{BC}$ 与抛物线有唯一公共点 $Q$ 时，求此时点 $Q$ 的坐标；

（3）过（2）中的点 $Q$ 作 $\mathit{QE}//y$ 轴，交 $x$ 轴于点 $E$ ．若点 $M$ 是抛物线上一个动点，点 $N$ 是 $x$ 轴上一个动点，是否存在以 $E$ ， $M$ ， $N$ 三点为顶点的直角三角形（其中 $M$ 为直角顶点）与 $\mathit{\Delta BOC}$ 相似？如果存在，请直接写出满足条件的点 $M$ 的个数和其中一个符合条件的点 $M$ 的坐标；如果不存在，请说明理由．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\frac{9}{4}x+c(a\ne 0)$ 与 $x$ 轴相交于点 $A(-1,0)$ 和点 $B$ ，与 $y$ 轴相交于点 $C(0,3)$ ，作直线 $\mathit{BC}$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在直线 $\mathit{BC}$ 上方的抛物线上存在点 $D$ ，使 $\angle \mathit{DCB}=2\angle \mathit{ABC}$ ，求点 $D$ 的坐标；

（3）在（2）的条件下，点 $F$ 的坐标为 $(0,\frac{7}{2})$ ，点 $M$ 在抛物线上，点 $N$ 在直线 $\mathit{BC}$ 上．当以 $D$ ， $F$ ， $M$ ， $N$ 为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点 $N$ 的坐标．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AD}=\mathit{kAB}(k>0)$ ，点 $E$ 是线段 $\mathit{CB}$ 延长线上的一个动点，连接 $\mathit{AE}$ ，过点 $A$ 作 $\mathit{AF}\perp \mathit{AE}$ 交射线 $\mathit{DC}$ 于点 $F$ ．

（1）如图1，若 $k=1$ ，则 $\mathit{AF}$ 与 $\mathit{AE}$ 之间的数量关系是 　 　；

（2）如图2，若 $k\ne 1$ ，试判断 $\mathit{AF}$ 与 $\mathit{AE}$ 之间的数量关系，写出结论并证明；（用含 $k$ 的式子表示）

（3）若 $\mathit{AD}=2\mathit{AB}=4$ ，连接 $\mathit{BD}$ 交 $\mathit{AF}$ 于点 $G$ ，连接 $\mathit{EG}$ ，当 $\mathit{CF}=1$ 时，求 $\mathit{EG}$ 的长．

在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$ ， $\angle \mathit{BAC}=\alpha$ ，点 $P$ 为线段 $\mathit{CA}$ 延长线上一动点，连接 $\mathit{PB}$ ，将线段 $\mathit{PB}$ 绕点 $P$ 逆时针旋转，旋转角为 $\alpha$ ，得到线段 $\mathit{PD}$ ，连接 $\mathit{DB}$ ， $\mathit{DC}$ ．

（1）如图1，当 $\alpha =60°$ 时，

①求证： $\mathit{PA}=\mathit{DC}$ ；

②求 $\angle \mathit{DCP}$ 的度数；

（2）如图2，当 $\alpha =120°$ 时，请直接写出 $\mathit{PA}$ 和 $\mathit{DC}$ 的数量关系．

（3）当 $\alpha =120°$ 时，若 $\mathit{AB}=6$ ， $\mathit{BP}=\sqrt{31}$ ，请直接写出点 $D$ 到 $\mathit{CP}$ 的距离为 　　．

如图， $\mathit{BC}$ 是 $\odot O$ 的直径， $\mathit{AD}$ 是 $\odot O$ 的弦， $\mathit{AD}$ 交 $\mathit{BC}$ 于点 $E$ ，连接 $\mathit{AB}$ ， $\mathit{CD}$ ，过点 $E$ 作 $\mathit{EF}\perp \mathit{AB}$ ，垂足为 $F$ ， $\angle \mathit{AEF}=\angle D$ ．

（1）求证： $\mathit{AD}\perp \mathit{BC}$ ；

（2）点 $G$ 在 $\mathit{BC}$ 的延长线上，连接 $\mathit{AG}$ ， $\angle \mathit{DAG}=2\angle D$ ．

①求证： $\mathit{AG}$ 与 $\odot O$ 相切；

②当 $\frac{\mathit{AF}}{\mathit{BF}}=\frac{2}{5}$ ， $\mathit{CE}=4$ 时，直接写出 $\mathit{CG}$ 的长．

如图， $▱\mathit{ABCD}$ 的对角线 $\mathit{AC}$ ， $\mathit{BD}$ 交于点 $E$ ，以 $\mathit{AB}$ 为直径的 $\odot O$ 经过点 $E$ ，与 $\mathit{AD}$ 交于点 $F$ ， $G$ 是 $\mathit{AD}$ 延长线上一点，连接 $\mathit{BG}$ ，交 $\mathit{AC}$ 于点 $H$ ，且 $\angle \mathit{DBG}=\frac{1}{2}\angle \mathit{BAD}$ ．

（1）求证： $\mathit{BG}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）若 $\mathit{CH}=3$ ， $\tan \angle \mathit{DBG}=\frac{1}{2}$ ，求 $\odot O$ 的直径．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\angle \mathit{ACB}=90°$ ， $\mathit{AC}=6\mathit{cm}$ ， $\mathit{BC}=8\mathit{cm}$ ，点 $D$ 从点 $B$ 出发，沿边 $\mathit{BA}\to \mathit{AC}$ 以 $2\mathit{cm}/s$ 的速度向终点 $C$ 运动，过点 $D$ 作 $\mathit{DE}//\mathit{BC}$ ，交边 $\mathit{AC}$ （或 $\mathit{AB})$ 于点 $E$ ．设点 $D$ 的运动时间为 $t\left(s\right)$ ， $\mathit{\Delta CDE}$ 的面积为 $S\left(c{m}^2\right)$ ．

（1）当点 $D$ 与点 $A$ 重合时，求 $t$ 的值；

（2）求 $S$ 关于 $t$ 的函数解析式，并直接写出自变量 $t$ 的取值范围．

如图，抛物线 $y=-\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{bx}+c$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ，点 $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，抛物线的对称轴为直线 $x=-1$ ，点 $C$ 坐标为 $(0,4)$ ．

（1）求抛物线表达式；

（2）在抛物线上是否存在点 $P$ ，使 $\angle \mathit{ABP}=\angle \mathit{BCO}$ ，如果存在，求出点 $P$ 坐标；如果不存在，请说明理由；

（3）在（2）的条件下，若点 $P$ 在 $x$ 轴上方，点 $M$ 是直线 $\mathit{BP}$ 上方抛物线上的一个动点，求点 $M$ 到直线 $\mathit{BP}$ 的最大距离；

（4）点 $G$ 是线段 $\mathit{AC}$ 上的动点，点 $H$ 是线段 $\mathit{BC}$ 上的动点，点 $Q$ 是线段 $\mathit{AB}$ 上的动点，三个动点都不与点 $A$ ， $B$ ， $C$ 重合，连接 $\mathit{GH}$ ， $\mathit{GQ}$ ， $\mathit{HQ}$ ，得到 $\mathit{\Delta GHQ}$ ，直接写出 $\mathit{\Delta GHQ}$ 周长的最小值．