初中数学相似三角形的判定与性质解答题

已知 $\mathit{\Delta ABC}$ 内接于 $\odot O$ ， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$ ， $\angle \mathit{ABC}$ 的平分线与 $\odot O$ 交于点 $D$ ，与 $\mathit{AC}$ 交于点 $E$ ，连接 $\mathit{CD}$ 并延长与 $\odot O$ 过点 $A$ 的切线交于点 $F$ ，记 $\angle \mathit{BAC}=\alpha$ ．

（1）如图1，若 $\alpha =60°$ ，

①直接写出 $\frac{\mathit{DF}}{\mathit{DC}}$ 的值为 　　；

②当 $\odot O$ 的半径为2时，直接写出图中阴影部分的面积为 　　；

（2）如图2，若 $\alpha <60°$ ，且 $\frac{\mathit{DF}}{\mathit{DC}}=\frac{2}{3}$ ， $\mathit{DE}=4$ ，求 $\mathit{BE}$ 的长．

如图， $\mathit{\Delta ACE}$， $\mathit{\Delta ACD}$均为直角三角形， $\angle \mathit{ACE}=90°$， $\angle \mathit{ADC}=90°$， $\mathit{AE}$与 $\mathit{CD}$相交于点 $P$，以 $\mathit{CD}$为直径的 $\odot O$恰好经过点 $E$，并与 $\mathit{AC}$， $\mathit{AE}$分别交于点 $B$和点 $F$．

（1）求证： $\angle \mathit{ADF}=\angle \mathit{EAC}$．

（2）若 $\mathit{PC}=\frac{2}{3}\mathit{PA}$， $\mathit{PF}=1$，求 $\mathit{AF}$的长．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$ ，以 $\mathit{AB}$ 为直径的 $\odot O$ 交 $\mathit{BC}$ 于点 $D$ ，过点 $D$ 的直线 $\mathit{EF}$ 交 $\mathit{AC}$ 于点 $F$ ，交 $\mathit{AB}$ 的延长线于点 $E$ ，且 $\angle \mathit{BAC}=2\angle \mathit{BDE}$ ．

（1）求证： $\mathit{DF}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）当 $\mathit{CF}=2$ ， $\mathit{BE}=3$ 时，求 $\mathit{AF}$ 的长．

如图， $\mathit{CD}$是 $\odot O$的直径，点 $B$在 $\odot O$上，连接 $\mathit{BC}$、 $\mathit{BD}$，直线 $\mathit{AB}$与 $\mathit{CD}$的延长线相交于点 $A$， $A{B}^2=\mathit{AD}·\mathit{AC}$， $\mathit{OE}//\mathit{BD}$交直线 $\mathit{AB}$于点 $E$， $\mathit{OE}$与 $\mathit{BC}$相交于点 $F$．

（1）求证：直线 $\mathit{AE}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\odot O$的半径为3， $\cos A=\frac{4}{5}$，求 $\mathit{OF}$的长．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 中， $\angle \mathit{ABC}=90°$ ，以 $\mathit{AB}$ 为直径的 $\odot O$ 交 $\mathit{AC}$ 于点 $D$ ， $\mathit{AE}$ 与过点 $D$ 的切线互相垂直，垂足为 $E$ ．

（1）求证： $\mathit{AD}$ 平分 $\angle \mathit{BAE}$ ；

（2）若 $\mathit{CD}=\mathit{DE}$ ，求 $\sin \angle \mathit{BAC}$ 的值．

如图1，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\angle B=30°$，点 $M$是 $\mathit{AB}$的中点，连接 $\mathit{MC}$，点 $P$是线段 $\mathit{BC}$延长线上一点，且 $\mathit{PC}<\mathit{BC}$，连接 $\mathit{MP}$交 $\mathit{AC}$于点 $H$．将射线 $\mathit{MP}$绕点 $M$逆时针旋转 $60°$交线段 $\mathit{CA}$的延长线于点 $D$．

（1）找出与 $\angle \mathit{AMP}$相等的角，并说明理由．

（2）如图2， $\mathit{CP}=\frac{1}{2}\mathit{BC}$，求 $\frac{\mathit{AD}}{\mathit{BC}}$的值．

（3）在（2）的条件下，若 $\mathit{MD}=\frac{\sqrt{13}}{3}$，求线段 $\mathit{AB}$的长．

如图，已知 $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径，直线 $\mathit{BC}$与 $\odot O$相切于点 $B$，过点 $A$作 $\mathit{AD}//\mathit{OC}$交 $\odot O$于点 $D$，连接 $\mathit{CD}$．

（1）求证： $\mathit{CD}$是 $\odot O$的切线．

（2）若 $\mathit{AD}=4$，直径 $\mathit{AB}=12$，求线段 $\mathit{BC}$的长．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{CA}=\mathit{CB}$ ， $\mathit{BC}$ 与 $\odot A$ 相切于点 $D$ ，过点 $A$ 作 $\mathit{AC}$ 的垂线交 $\mathit{CB}$ 的延长线于点 $E$ ，交 $\odot A$ 于点 $F$ ，连结 $\mathit{BF}$ ．

（1）求证： $\mathit{BF}$ 是 $\odot A$ 的切线．

（2）若 $\mathit{BE}=5$ ， $\mathit{AC}=20$ ，求 $\mathit{EF}$ 的长．

如图，在四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\angle \mathit{ADC}=\angle B=90°$，过点 $D$作 $\mathit{DE}\perp \mathit{AB}$于 $E$，若 $\mathit{DE}=\mathit{BE}$．

（1）求证： $\mathit{DA}=\mathit{DC}$；

（2）连接 $\mathit{AC}$交 $\mathit{DE}$于点 $F$，若 $\angle \mathit{ADE}=30°$， $\mathit{AD}=6$，求 $\mathit{DF}$的长．

阅读与思考

请阅读下列科普材料，并完成相应的任务．

图算法 图算法也叫诺模图，是根据几何原理，将某一已知函数关系式中的各变量，分别编成有刻度的直线（或曲线），并把它们按一定的规律排列在一起的一种图形，可以用来解函数式中的未知量．比如想知道10摄氏度相当于多少华氏度，我们可根据摄氏温度与华氏温度之间的关系： $F=\frac{9}{5}C+32$得出，当 $C=10$时， $F=50$．但是如果你的温度计上有华氏温标刻度，就可以从温度计上直接读出答案，这种根据特制的线条进行计算的方法就是图算法． 再看一个例子：设有两只电阻，分别为5千欧和7.5千欧，问并联后的电阻值是多少？ 我们可以根据公式 $\frac{1}{R}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}$求得 $R$的值，也可以设计一种图算法直接得出结果：我们先来画出一个 $120°$的角，再画一条角平分线，在角的两边及角平分线上用同样的单位长度进行刻度，这样就制好了一张算图．我们只要把角的两边刻着7.5和5的两点连成一条直线，这条直线与角平分线的交点的刻度值就是并联后的电阻值． 图算法得出的数据大多是近似值，但在大多数情况下是够用的，那些需要用同一类公式进行计算的测量制图人员，往往更能体会到它的优越性．

任务：

（1）请根据以上材料简要说明图算法的优越性；

（2）请用以下两种方法验证第二个例子中图算法的正确性：

①用公式 $\frac{1}{R}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}$计算：当 $R_1=7.5$， $R_2=5$时， $R$的值为多少；

②如图，在 $\mathit{\Delta AOB}$中， $\angle \mathit{AOB}=120°$， $\mathit{OC}$是 $\mathit{\Delta AOB}$的角平分线， $\mathit{OA}=7.5$， $\mathit{OB}=5$，用你所学的几何知识求线段 $\mathit{OC}$的长．

如图， $O$ 为线段 $\mathit{PB}$ 上一点，以 $O$ 为圆心， $\mathit{OB}$ 长为半径的 $\odot O$ 交 $\mathit{PB}$ 于点 $A$ ，点 $C$ 在 $\odot O$ 上，连接 $\mathit{PC}$ ，满足 $P{C}^2=\mathit{PA}\cdot \mathit{PB}$ ．

（1）求证： $\mathit{PC}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）若 $\mathit{AB}=3\mathit{PA}$ ，求 $\frac{\mathit{AC}}{\mathit{BC}}$ 的值．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AB}=\mathit{BC}$ ，以 $\mathit{\Delta ABC}$ 的边 $\mathit{AB}$ 为直径作 $\odot O$ ，交 $\mathit{AC}$ 于点 $D$ ，过点 $D$ 作 $\mathit{DE}\perp \mathit{BC}$ ，垂足为点 $E$ ．

（1）试证明 $\mathit{DE}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）若 $\odot O$ 的半径为5， $\mathit{AC}=6\sqrt{10}$ ，求此时 $\mathit{DE}$ 的长．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=8$， $\mathit{BC}=4$， $\mathit{CA}=6$， $\mathit{CD}//\mathit{AB}$， $\mathit{BD}$是 $\angle \mathit{ABC}$的平分线， $\mathit{BD}$交 $\mathit{AC}$于点 $E$，求 $\mathit{AE}$的长．

如图， $\mathit{AG}$是 $\angle \mathit{HAF}$的平分线，点 $E$在 $\mathit{AF}$上，以 $\mathit{AE}$为直径的 $\odot O$交 $\mathit{AG}$于点 $D$，过点 $D$作 $\mathit{AH}$的垂线，垂足为点 $C$，交 $\mathit{AF}$于点 $B$．

（1）求证：直线 $\mathit{BC}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{AC}=2\mathit{CD}$，设 $\odot O$的半径为 $r$，求 $\mathit{BD}$的长度．

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径，弦 $\mathit{CD}\perp \mathit{AB}$于点 $E$，点 $F$是 $\odot O$上一点，且 $\stackrel{̂}{\mathit{AC}}=\stackrel{̂}{\mathit{CF}}$，连接 $\mathit{FB}$， $\mathit{FD}$， $\mathit{FD}$交 $\mathit{AB}$于点 $N$．

（1）若 $\mathit{AE}=1$， $\mathit{CD}=6$，求 $\odot O$的半径；

（2）求证： $\mathit{\Delta BNF}$为等腰三角形；

（3）连接 $\mathit{FC}$并延长，交 $\mathit{BA}$的延长线于点 $P$，过点 $D$作 $\odot O$的切线，交 $\mathit{BA}$的延长线于点 $M$．求证： $\mathit{ON}·\mathit{OP}=\mathit{OE}·\mathit{OM}$．